[EX] trasformazione di v.a.

[cooper1]

Siano $R, Theta$ due variabili aleatorie reali indipendenti; R ha legge esponenziale con parametro 1 e $Theta$ è uniformemente distribuita nell’intervallo $(0, π/2)$. Si definiscano poi

$X=R cosTheta, Y=RsinTheta,T=Y/X$

1. calcolare la probabilità che risulti $Y > X$.
2. Calcolare il valore atteso $E(X)$.
3. Determinare se T è assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densità.
4. Determinare se il vettore $(X, Y )$ è assolutamente continuo e in tal caso calcolarne la densità.

è un esercizio standard, ma secondo me può essere molto istruttivo per chi si sta approcciando alla materia o è ancora un po' alle prime armi.

[Lo_zio_Tom]

Sono d'accordo.

Faccio solo notare che $T=Y/X=tan Theta$ , indipendente da R....quindi la distribuzione di T si calcola immediatamente come trasformazione monotona della uniforme, trovando subito e senza fare alcun conto[nota]beh senza alcun conto....diciamo a mente, dato che basta derivare la funzione inversa ($arctant$) e moltiplicarla per la densità della uniforme...[/nota] che

3. $f_T(t)=2/pi 1/(1+t^2)I_((0;+oo))(t)$

1. $P(Y>X)=P(T>1)=2/pi(pi/2-pi/4)=1/2$


...per il resto occorre fare i conti e quindi aspetto che qualcuno ci metta un po' di impegno