Ex probabilità tempo d'attesa

[aenigma1]

Una persona attende l'autobus per un tempo (in minuti) aleatorio $X$ con distribuzione esponenziale di parametro $1/10$.Il tempo(sempre in minuti) impiegato dall'autobus per arrivare a destinazione è una v.a. $Y$ distribuita uniformemente nell'intervallo $(10,20)$. Determinare la distribuzione di probabilita' del tempo totale impiegato per arrivare a destinazione, la sua media e la sua varianza.

allora ho detto...se indico con $T$ il tempo totale impiegato per arrivare esso sarà $T=X+Y$, quindi

$P(T<=t)=P(X+Y<=t)=P(Y<=t-X)=\int_0^t (e^-(x/10)/10)\int_0^(t-x) 1/10 dy dx$

intanto, è giusta l'idea e l'impostazione del calcolo?

oppure l'alternativa è $P(T<=t)=P(X<=t)+P(Y<=t)=1-e^(-t/10)+t/10$ e la densità sarebbe $1/10(1+e^(-t/10))$, ma nel caso che $10

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Risposte

elgiovo

1 lug 2013, 16:13

Forse ti conviene usare direttamente il fatto che la pdf di $X+Y$ è la convoluzione delle pdf di $X$ e $Y$ (ammesso che siano indipendenti). La convoluzione di un'esponenziale con un'uniforme la puoi fare semplicemente.

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aenigma1

1 lug 2013, 17:53

si ma se faccio la convoluzione dell'esponenziale con l'uniforme che ho mi viene... $P(X+Y<=t)=\int_{0}^{t} f_X(x)f_Y(t-x)= \int_{0}^{t} e^(-x/10)/100$, o sbaglio? non capisco come salti fuori quell $e^(1-t/10)$ nel risultato

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elgiovo

1 lug 2013, 18:29

"aenigma": $P(X+Y<=t)=\int_{0}^{t} f_X(x)f_Y(t-x)$

Questo è sbagliato. Quella che hai scritto a Sx dell'uguale casomai è l'espressione della cumulativa, non della densità. In generale, poi, l'integrale va esteso su tutto l'asse reale. Vista la forma delle distribuzioni poi potrai fare delle semplificazioni. A occhio e croce, ti conviene "tenere ferma" la distribuzione uniforme, in modo che l'integrale vada tra $10$ e $20$, e "far scorrere" l'esponenziale. Controlla meglio gli estremi.

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aenigma1

1 lug 2013, 18:42

quindi, se tengo ferma la distribuzione uniforme e integro tra 10 e 20 come dici tu, verrebbe

$\int_{10}^{20}1/10e^(-(t-x)/10)/10$

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elgiovo

1 lug 2013, 18:56

"aenigma":quindi, se tengo ferma la distribuzione uniforme e integro tra 10 e 20 come dici tu, verrebbe

$\int_{10}^{20}1/10e^(-(t-x)/10)/10$

Mi sembra a posto. Però devi considerare anche il "gradino" $u(t-x)$ a moltiplicare l'esponenziale, che ha supporto nel semiasse positivo. Poi vai per casi (aiutati in modo grafico): nessuna sovrapposizione tra esponenziale e rettangolo, sovrapposizione parziale, sovrapposizione totale.

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[elgiovo]

Forse ti conviene usare direttamente il fatto che la pdf di $X+Y$ è la convoluzione delle pdf di $X$ e $Y$ (ammesso che siano indipendenti). La convoluzione di un'esponenziale con un'uniforme la puoi fare semplicemente.

[aenigma1]

si ma se faccio la convoluzione dell'esponenziale con l'uniforme che ho mi viene... $P(X+Y<=t)=\int_{0}^{t} f_X(x)f_Y(t-x)= \int_{0}^{t} e^(-x/10)/100$, o sbaglio? non capisco come salti fuori quell $e^(1-t/10)$ nel risultato

[elgiovo]

"aenigma": $P(X+Y<=t)=\int_{0}^{t} f_X(x)f_Y(t-x)$

Questo è sbagliato. Quella che hai scritto a Sx dell'uguale casomai è l'espressione della cumulativa, non della densità. In generale, poi, l'integrale va esteso su tutto l'asse reale. Vista la forma delle distribuzioni poi potrai fare delle semplificazioni. A occhio e croce, ti conviene "tenere ferma" la distribuzione uniforme, in modo che l'integrale vada tra $10$ e $20$, e "far scorrere" l'esponenziale. Controlla meglio gli estremi.

[aenigma1]

quindi, se tengo ferma la distribuzione uniforme e integro tra 10 e 20 come dici tu, verrebbe

$\int_{10}^{20}1/10e^(-(t-x)/10)/10$

[elgiovo]

"aenigma":quindi, se tengo ferma la distribuzione uniforme e integro tra 10 e 20 come dici tu, verrebbe

$\int_{10}^{20}1/10e^(-(t-x)/10)/10$

Mi sembra a posto. Però devi considerare anche il "gradino" $u(t-x)$ a moltiplicare l'esponenziale, che ha supporto nel semiasse positivo. Poi vai per casi (aiutati in modo grafico): nessuna sovrapposizione tra esponenziale e rettangolo, sovrapposizione parziale, sovrapposizione totale.