Eventi indipendenti e disgiunti: mission impossible
Ciao ragazzi, non riesco a capire un aspetto della teoria degli eventi nel calcolo delle probabilità.
Ho capito che eventi disgiunti non possono mai essere indipendenti, ma la mia domanda è se due eventi a e b sono indipendenti, allora sono anche disgiunti?
Grazie mille per l’aiuto.
Ho capito che eventi disgiunti non possono mai essere indipendenti, ma la mia domanda è se due eventi a e b sono indipendenti, allora sono anche disgiunti?
Grazie mille per l’aiuto.
Risposte
Sfrutta la definizione.
È quello che ho provato a fare ma non riesco a giungere a una conclusione
ringrazio ma ci sto passando sopra delle ore. Mi rendo conto che è un concetto banale ma non so perché mi crea grandi difficoltà nel capirlo.
Non potrei dire che due eventi sono indipendenti se $P(A|B)=P(A)P(B)$ e due eventi sono disgiunti se $A$ $nn$ $B$ = $\phi$ quindi eventi indipendenti sono anche disgiunti se e solo se o $A$ o $B$ sono un insieme vuoto? Ha senso?
Grazie
Non potrei dire che due eventi sono indipendenti se $P(A|B)=P(A)P(B)$ e due eventi sono disgiunti se $A$ $nn$ $B$ = $\phi$ quindi eventi indipendenti sono anche disgiunti se e solo se o $A$ o $B$ sono un insieme vuoto? Ha senso?
Grazie
La definizione che hai scritto è sbagliata. Se l'hai copiata così dagli appunti controlla bene sui libri.
Due eventi $A,B$ si dicono stocasticamente indipendenti se e solo se
Posto che entrambi gli eventi abbiano probabiità non nulla, altrimenti la tua domanda perde di senso, è evidente che se l'intersezione è vuota gli eventi non possono essere indipendenti e se gli eventi sono indipendenti la loro intersezione non può essere vuota.
Del resto, dato che, per evidenti ragioni, l'indipendenza può essere definita anche così
È altrettanto evidente che, in caso di eventi disgiunti, il verificarsi di B impedisce il verificarsi di A (ovvero ne cambia la probabilità da $mathbb{P}[A]>0$ a zero) e quindi gli eventi NON sono indipendenti.
Proviamo con un esempio:
Ovviamente:
$A={"TTT,TCC,TTC,TCT"}$
$B={"TTT,CTC,TTC,CTT"}$
$C={"CTT,CCC,CTC,CCT"}$
$D={"TTC,TCT,CTT"}$
$Omega:{"TTT,TCC,CTC,CCT,TTC,TCT,CTT,CCC"}$
Come puoi vedere $Ann C= emptyset$ e quindi già sai che $A,C$ non sono indipendenti (anche se banale, osserva che quando lanci una moneta se esce testa non può uscire croce e viceversa).
Invece $A nn B != emptyset$ così come $ A nn D != emptyset$. In questi casi, per stabilire l'indipendenza, devi usare la definizione
Evidentemente A e B sono indipendenti dato che $mathbb{P}[A|B]=mathbb{P}[A]$ mentre ciò non accade nel caso di A e D. Qui infatti hai che
$mathbb{P}[A]=1/2$ mentre $mathbb{P}[A|D]=2/3$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Per finire la spiegazione ecco anche una rappresentazione grafica del problema
Da cui è evidente che
1) l'indipendenza fra $A,B$ è condizione sufficiente per avere $A nnB !=emptyset$ ma non necessaria
2) $A nnB !=emptyset$ è condizione necessaria per l'indipendenza ma non sufficiente[nota]vedi eventi $A,D$ dell'esempio precedente[/nota]
3) indipendenza fra $A,B$ e $A nn B =emptyset$ sono incompatibili
Spero che ora sia chiaro
Saluti
Due eventi $A,B$ si dicono stocasticamente indipendenti se e solo se
$mathbb{P}[A nn B]=mathbb{P}[A]mathbb{P}$
Posto che entrambi gli eventi abbiano probabiità non nulla, altrimenti la tua domanda perde di senso, è evidente che se l'intersezione è vuota gli eventi non possono essere indipendenti e se gli eventi sono indipendenti la loro intersezione non può essere vuota.
Del resto, dato che, per evidenti ragioni, l'indipendenza può essere definita anche così
$mathbb{P}[A|B]=mathbb{P}[A]$
È altrettanto evidente che, in caso di eventi disgiunti, il verificarsi di B impedisce il verificarsi di A (ovvero ne cambia la probabilità da $mathbb{P}[A]>0$ a zero) e quindi gli eventi NON sono indipendenti.
In conclusione: in caso di eventi disgiunti sai già che NON sono indipendenti; in caso di eventi congiunti per verificarne l'indipendenza devi usare la definizione.
Proviamo con un esempio:
lanciamo 3 volte una moneta ben bilanciata e definiamo
A: esce Testa al primo lancio,
B: esce Testa al secondo lancio,
C : esce Croce al primo lancio,
D : escono esattamente due Teste.
Ovviamente:
$A={"TTT,TCC,TTC,TCT"}$
$B={"TTT,CTC,TTC,CTT"}$
$C={"CTT,CCC,CTC,CCT"}$
$D={"TTC,TCT,CTT"}$
$Omega:{"TTT,TCC,CTC,CCT,TTC,TCT,CTT,CCC"}$
Come puoi vedere $Ann C= emptyset$ e quindi già sai che $A,C$ non sono indipendenti (anche se banale, osserva che quando lanci una moneta se esce testa non può uscire croce e viceversa).
Invece $A nn B != emptyset$ così come $ A nn D != emptyset$. In questi casi, per stabilire l'indipendenza, devi usare la definizione
Evidentemente A e B sono indipendenti dato che $mathbb{P}[A|B]=mathbb{P}[A]$ mentre ciò non accade nel caso di A e D. Qui infatti hai che
$mathbb{P}[A]=1/2$ mentre $mathbb{P}[A|D]=2/3$
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Per finire la spiegazione ecco anche una rappresentazione grafica del problema
Da cui è evidente che
1) l'indipendenza fra $A,B$ è condizione sufficiente per avere $A nnB !=emptyset$ ma non necessaria
2) $A nnB !=emptyset$ è condizione necessaria per l'indipendenza ma non sufficiente[nota]vedi eventi $A,D$ dell'esempio precedente[/nota]
3) indipendenza fra $A,B$ e $A nn B =emptyset$ sono incompatibili
Spero che ora sia chiaro
Saluti
Si ho fatto un errore di battitura nella formula dell’indipendenza.
Ora mi è molto più chiaro. Purtroppo ho qualche difficoltà ad entrare nella mentalità giusta per il calcolo delle probabilità.
Ti ringrazio.
Ora mi è molto più chiaro. Purtroppo ho qualche difficoltà ad entrare nella mentalità giusta per il calcolo delle probabilità.
Ti ringrazio.
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