Esercizio variabili aleatorie indipendenti

[alfox1]

salve ragazzi devo fare l'esame di calcolo combinatorio e non riesco a svolgere questo esercizio mi aiutate?
esercizio:
Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti, con X normale di valore atteso -1 e varianza 4,e con Y uniformemente distribuita in (-1,2).
1) calcolre P(X>0,Y>0)
2) posto
$T=p^2 X+(1-p)^2 Y$, $0<=p<=1$

determinare

$g(p)= Cov(X,T)+Cov(Y,T)$

e ricavare il minimo al variare di p

Aiuto sono nelle vostre mani!

[_nicola de rosa]

"alfox":salve ragazzi devo fare l'esame di calcolo combinatorio e non riesco a svolgere questo esercizio mi aiutate?
esercizio:
Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti, con X normale di valore atteso -1 e varianza 4,e con Y uniformemente distribuita in (-1,2).
1) calcolre P(X>0,Y>0)
2) posto
$T=p^2 X+(1-p)^2 Y$, $0<=p<=1$

determinare

$g(p)= Cov(X,T)+Cov(Y,T)$

e ricavare il minimo al variare di p

Aiuto sono nelle vostre mani!

1) Per l'indipendenza $P(X>0,Y>0)=P(X>0)*P(Y>0)$

Ora ricorda che per una variabile aleatoria gaussiana si ha $P(X>x)=Q((x-mu)/(sigma))$, mentre $P(Y>0)=1/3*int_0^2dy=2/3$ per cui
$P(X>0,Y>0)=P(X>0)*P(Y>0)=2/3*Q(1/2)$

2)$Cov(X,T)=E[XT]-E[X]*E[T]$
$Cov(Y,T)=E[YT]-E[Y]*E[T]$
Innanzitutto $E[T]=p^2*E[X]+(1-p)^2*E[Y]=p^2*(-1)+(1-p)^2*1/2=-p^2+1/2*(1-p)^2=-1/2p^2-p+1/2=1/2(-p^2-2p+1)$
poi $E[XT]=p^2*E[X^2]+(1-p)^2*E[X]*E[Y]=p^2*(sigma_X^2+mu_X^2)+(1-p)^2*(-1)*(1/2)=5p^2-1/2*(1-p)^2=9/2p^2+p-1/2=1/2(9p^2+2p-1)$
Inoltre $E[YT]=p^2*E[X]*E[Y]+(1-p)^2*E[Y^2]=-p^2*1/2+(1-p)^2*1=1/2(p^2-4p+2)$

Quindi $Cov(X,T)=E[XT]-E[X]*E[T]=1/2(9p^2+2p-1)+1/2(-p^2-2p+1)=1/2(8p^2)=4p^2$
$Cov(Y,T)=E[YT]-E[Y]*E[T]=1/2(p^2-4p+2)-1/4(-p^2-2p+1)=1/4(2p^2-8p+4+p^2+2p-1)=3/4(p^2-2p+1)=3/4*(1-p)^2$

Quindi $g(p)=4p^2+3/4*(1-p)^2=19/4p^2-3/2p+3/4$ che è una parabola conconcavità verso l'alto ed il minimo è nell'ascissa del vertice e pari a $p_min=(3/2)/(19/2)=3/19$

Spero di non aver sbagliato i calcoli

[alfox1]

Per l'indipendenza $P(X>0,Y>0)=P(X>0)*P(Y>0)$

Ora ricorda che per una variabile aleatoria gaussiana si ha $P(X>x)=Q((x-mu)/(sigma))$, mentre $P(Y>0)=1/3*int_0^2dy=2/3$ per cui
$P(X>0,Y>0)=P(X>0)*P(Y>0)=2/3*Q(1/2)$

grazie mille, si ci stavo raggionando e su questo ho avuto la tua conferma che lo stavo facendo bene.
Ma è l'altro punto che mi preoccupa non sò proprio da dove iniziare

[_nicola de rosa]

"alfox":

Per l'indipendenza $P(X>0,Y>0)=P(X>0)*P(Y>0)$

Ora ricorda che per una variabile aleatoria gaussiana si ha $P(X>x)=Q((x-mu)/(sigma))$, mentre $P(Y>0)=1/3*int_0^2dy=2/3$ per cui
$P(X>0,Y>0)=P(X>0)*P(Y>0)=2/3*Q(1/2)$

grazie mille, si ci stavo raggionando e su questo ho avuto la tua conferma che lo stavo facendo bene.
Ma è l'altro punto che mi preoccupa non sò proprio da dove iniziare

Controlla ora, ho riportato anche l'altra parte

[alfox1]

grazie veramente grazie
non ci sarei mai arrivato da solo
adesso che mi hai aiutato posso raggionare su quello che ha scritto. E risolvere altri esercizi di questo genere.
grazie e ancora grazie

[_nicola de rosa]

"alfox":grazie veramente grazie
non ci sarei mai arrivato da solo
adesso che mi hai aiutato posso raggionare su quello che ha scritto. E risolvere altri esercizi di questo genere.
grazie e ancora grazie

di niente, figurati