Esercizio variabile aleatoria discreta
Salve, ho difficoltà a svolgere il seguente esercizio:
La variabile aleatoria discreta $ X $ assume i valori $ -1, 0, 1 $ con probabilità $ a, b, c $ rispettivamente. Trovare $ a, b, c $ in modo che $ \mathbb{E}[X] = 1/2 $ e $ Var[X] = 3/10 $.
Visto che è una v.a. discreta:
$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^3 x_i \cdot p_i $ e $ Var[X] = \sum_{i=1}^3(x_i - \mathbb{E}[X])^2 \cdot p_i $
Quindi ho messo a sistema:
$ { ( a+b+c=1 ),( 1/2 = -1 \cdot a + 0 \cdot b +1\cdot c ),( 3/10=(-1-1/2)^2\cdot a +(0-1/2)^2\cdot b + (1-1/2)^2\cdot c):} $
Svolgendo i calcoli ottengo $a=1/40, b=29/20, c=-19/40$ che è chiaramente sbagliato.
Potreste darmi una mano per favore?
La variabile aleatoria discreta $ X $ assume i valori $ -1, 0, 1 $ con probabilità $ a, b, c $ rispettivamente. Trovare $ a, b, c $ in modo che $ \mathbb{E}[X] = 1/2 $ e $ Var[X] = 3/10 $.
Visto che è una v.a. discreta:
$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^3 x_i \cdot p_i $ e $ Var[X] = \sum_{i=1}^3(x_i - \mathbb{E}[X])^2 \cdot p_i $
Quindi ho messo a sistema:
$ { ( a+b+c=1 ),( 1/2 = -1 \cdot a + 0 \cdot b +1\cdot c ),( 3/10=(-1-1/2)^2\cdot a +(0-1/2)^2\cdot b + (1-1/2)^2\cdot c):} $
Svolgendo i calcoli ottengo $a=1/40, b=29/20, c=-19/40$ che è chiaramente sbagliato.
Potreste darmi una mano per favore?
Risposte
avrai sbagliato i calcoli. L'impostazione è corretta.
Puoi anche definire meglio la varianza come $V(X)=E(X^2)-E^2(X)$ così il sistema viene più semplice
${{: ( a+b+c=1 ),( -a+c=1/2 ),( a+c-1/4=3/10 ) :}$
Di qui, senza molti sforzi, vedi subito che
$a=1/40$
$b=18/40$
$c=21/40$
ciao
Puoi anche definire meglio la varianza come $V(X)=E(X^2)-E^2(X)$ così il sistema viene più semplice
${{: ( a+b+c=1 ),( -a+c=1/2 ),( a+c-1/4=3/10 ) :}$
Di qui, senza molti sforzi, vedi subito che
$a=1/40$
$b=18/40$
$c=21/40$
ciao
Grazie mille!
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