Esercizio sull'attesa condizionata

[evon]

Ciao a tutti,

Sono giorni che sto sbattendo la testa su vari esercizi sull'attesa condizionata, questo in particolare non riesco a venirne a capo:

Si consideri una v.a. $X$ assolutamente continua con densità di probabilità $f(x)$. Determinare:
a) $E[X|X]$
b) $E[X||X|= x]$
c) $E[X||X|]$

iniziando dal punto a) ho cercato di usare la definizione di media condizionata nel caso continuo, cioè:
$E[X|X] = \int_{-infty}^{infty} x f(x|x) dx$
dove la funzione di densità condizionata dovrebbe potersi ricavare da:
$ f(x|x) = \int ( f(x, x)) / (f(x)) dx$
A questo punto però non so come trovare la funzione di densità congiunta $f(x,x)$.

probabilmente ci sarà una qualche proprietà per risolvere questo problema molto più semplicemente, ma non sono riuscito a trovare niente.

Spero di avere usato correttamente i codici (questo è il mio primo messaggio). Grazie!

[Lo_zio_Tom]

"evon":
a) $E[X|X]$

iniziando dal punto a)

senza fare alcun conto dovresti già vedere che $E[X|X]$ è la regressione di X su X...quindi il risultato non può essere altro che

Formalmente, basta usare le proprietà del valore atteso condizionato:

$E[X|X]=E[X|x]=E[x*1|x]=xE[1|x]=x$

"evon":
probabilmente ci sarà una qualche proprietà per risolvere questo problema molto più semplicemente, ma non sono riuscito a trovare niente.

Dipende dove hai cercato; ad esempio qui, pagina 4, proprietà (vi)



ciao

[evon]

Ok grazie mille !
Devo ancora capire bene la dimostrazione di quella proprietà (la (vi) a pagina 4), ma con essa risulta semplice.
A questo punto l'unico dubbio che mi rimane è quale sia la differenza tra il punto b) e il c)

Perchè scrivendo $ E[X∣|X|] $ non è diciamo sottinteso che la seconda $ |X| $ assumerà un valore $ =x $ ?