Esercizio sulla probabilità elementare

[Kalinda1]

Salve ragazzi, è da poco che ho cominciato lo studio della probabilità e non ho ancora molta dimestichezza con gli esercizi. Il seguente in particolare mi ha lasciata un po' perplessa e volevo sapere se ho ragionato correttamente. Il testo è il seguente:
“Giovanni e Maria seguono un corso di matematica, il cui esame finale prevede solo tre punteggi: A, B e C. La probabilità che Giovanni prenda B è pari a 0.3, la probabilità che Maria prenda B è pari a 0.4, la probabilità che nessuno dei due prenda A ma almeno uno dei due prenda B è pari a 0.1. Qual'è la probabilità che almeno uno dei due prenda B ma nessuno prenda C?”
Io ho ragionato in questo modo:
detta $P(G)$ la probabilità che Giovanni prenda B e $P(M)$ la probabilità che Maria prenda B, dai dati si ricava che $P(G)=0.3$ e $P(M)=0.4$
Dato che gli eventi non sono mutuamente esclusivi, posso usare la proprietà per la quale $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$ In tal caso, detta $P(G \cup M)=0.1$ la probabilità che almeno uno dei due prenda B ma nessuno prenda A, si ha che:
$P(G \cup M)=P(G) + P(M) – P(G\cap M)$
dove $P(G\cap M)$ è la probabilità che entrambi prendano B e di conseguenza nessuno dei due prenda C. Ricavo quindi $P(G\cap M)$ dall'espressione precedente sostituendo i valori numerici e ottengo:
$P(G\cap M)= -0.1+0.3+0.4=0.6$
E' corretto?
Grazie

[Antimius]

Numericamente mi torna, ma non seguo il tuo ragionamento. $G \cup M = {\text{almeno uno dei due prende B}}$ e $G \cap M={\text{entrambi prendono B}}$

[retrocomputer]

"Kalinda":
In tal caso, detta $ P(G \cup M)=0.1 $ la probabilità che almeno uno dei due prenda B ma nessuno prenda A,

Come ti è già stato detto, $G\cup M$ non è la probabilità che dici, ma è la probabilità che almeno uno dei due prenda B. Per avere la probabilità 0.1 dei dati del problema devi intersecare $G\cup M$ con un altro evento $N_A=\{$nessuno dei due prende A$\}$. Allora sì che $ P((G \cup M)\cap N_A)=0.1 $.

[Kalinda1]

ok, quindi devo calcolare $(P(G\cupM)\capN_c)$ però sinceramente avendo come dato $(P(G\cupM)\capN_a)=0.1$ non so come ricavarlo... anche volendo usare la proprietà per la quale $P(G\cupM)=P(G)+P(M)=0.7$, posto $D=G\cupM$, $P(D\capN_c)=P(D)+P(N_c)-P(D\cupN_c)$ non so come ricavare $P(N_c)$ (inoltre non penso neanche sia possibile farlo in quando per applicare la proprietà $P(G\cupM)=P(G)+P(M)$ è necessario che G e M siano mutuamente esclusivi e non lo sono )

[Antimius]

Indico con la lettera al pedice il voto che ha preso Giovanni o Maria. Ad esempio $G_A={\text{Giovanni ha preso A}}$.
Allora l'evento "Almeno uno dei due prende B ma nessuno prende A" è $(G_B \cap M_B) \cup (G_B \cap M_C) \cup (G_C \cap M_B)$. Nota che gli eventi sono a due a due disgiunti.
Puoi fare la stessa cosa per l'evento "Almeno uno dei due prende B ma nessuno prende C".
Poi tieni conto che $P(G_A)+P(G_B)+P(G_C)=1$ e $P(M_A)+P(M_B)+P(M_C)=1$. A questo punto, dovresti riuscire a risolvere.