Esercizio sulla PDF
Ciao a tutti 
volevo qualche dritta sulla risoluzione di questo problema.
Una variabile aleatoria $X$ ha la seguente pdf:
$f_X(x)=a*e^(-2|x-1|) $
1. Determinare il valore di $a$ e disegnare il grafico di f_X(x)
2. Calcolare $P({X>=0})$
3. Calcolare $P({|X-1|<=1/2})$
4. Calcolare $P({X=1})$
5. Calcolare la CDF di X
Per risolvere tale problema bisogna osservare che la v.a. in esame è una v.a. esponenziale? Come procedo?
volevo qualche dritta sulla risoluzione di questo problema.Una variabile aleatoria $X$ ha la seguente pdf:
$f_X(x)=a*e^(-2|x-1|) $
1. Determinare il valore di $a$ e disegnare il grafico di f_X(x)
2. Calcolare $P({X>=0})$
3. Calcolare $P({|X-1|<=1/2})$
4. Calcolare $P({X=1})$
5. Calcolare la CDF di X
Per risolvere tale problema bisogna osservare che la v.a. in esame è una v.a. esponenziale? Come procedo?
Risposte
Manca il dominio sul quale la tua v.a. è definita.
E' esattamente questa la traccia dell'esercizio, l'ho copiata pari pari dal libro 
Se non si specifica il dominio a può avere un valore qualsiasi che dipende proprio dal dominio.
Quindi scritto così non penso sia risolvibile. Devi aggiungere un'ipotesi su a.
Quindi scritto così non penso sia risolvibile. Devi aggiungere un'ipotesi su a.
Forse si intende che il parametro a deve essere determinato in modo tale che la pdf sopra scritta sia una valida pdf, nel senso che soddisfi le proprietà caratterizzanti la pdf. Non può essere così?
Per calcolare a devi risolvere:
$ 1=int_(D) ae^(-2|x-1|) dx $
Quindi a seconda di D, il valore di a cambia.
Esempio
1. $ D=(0,1) $ allora $ 1=int_(0)^(1) ae^(-2|x-1|) dx $ e se non ho fatto male i calcoli viene $ a=(2e)/(1-e) $
2. $ D=(1,+oo ) $ allora $ 1=int_(1)^(+oo ) ae^(-2|x-1|) dx $ e quindi $ a=2 $
$ 1=int_(D) ae^(-2|x-1|) dx $
Quindi a seconda di D, il valore di a cambia.
Esempio
1. $ D=(0,1) $ allora $ 1=int_(0)^(1) ae^(-2|x-1|) dx $ e se non ho fatto male i calcoli viene $ a=(2e)/(1-e) $
2. $ D=(1,+oo ) $ allora $ 1=int_(1)^(+oo ) ae^(-2|x-1|) dx $ e quindi $ a=2 $
Applicando le proprietà caratterizzanti la pdf (non negatività e normalizzazione) si trova che il parametro $a=1$
Quindi risulta:
$f_(X)(x)=e^(-2|x-1|)$
E' corretto dire che quanto segue??
$P({X>=0})=1$
$P({X=1})=0$
Quindi risulta:
$f_(X)(x)=e^(-2|x-1|)$
E' corretto dire che quanto segue??
$P({X>=0})=1$
$P({X=1})=0$
come ti è stato più volte detto....non c'è il dominio dove la variabile è definita....non si può risolvere...sono proprio curioso di sapere come hai fatto a calcolare la costante....se non sai dove integrare....
La pdf gode delle due seguenti proprietà:
1) NON NEGATIVITA': $f_(X)(x)>=0$, $AA x in RR$
2) NORMALIZZAZIONE: $\int_(-oo)^(+oo)f_(X)(x)dx=1$
Tali proprietà caratterizzano una pdf, nel senso che una qualsiasi funzione reale che le soddisfi è la pdf di una variabile aleatoria (teorema di esistenza per v.a. continue).
Imponendo che la $f_(X)(x)$ sopra scritta soddisfi tali due proprietà, trovo il valore di affinchè essa sia effettivamente, e in modo consistente, una pdf.
1) NON NEGATIVITA': $f_(X)(x)>=0$, $AA x in RR$
2) NORMALIZZAZIONE: $\int_(-oo)^(+oo)f_(X)(x)dx=1$
Tali proprietà caratterizzano una pdf, nel senso che una qualsiasi funzione reale che le soddisfi è la pdf di una variabile aleatoria (teorema di esistenza per v.a. continue).
Imponendo che la $f_(X)(x)$ sopra scritta soddisfi tali due proprietà, trovo il valore di affinchè essa sia effettivamente, e in modo consistente, una pdf.
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