Esercizio sulla CDF
Tra una settimana ho gli esami di matematica e non sono riuscito a fare un esercizio.
Data la funzione: \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se} \; x \le 0 \\ 2\,x & \text{se} \; 0 < x \le 1 \\ k\,(1 - x) + 2 & \text{se} \; 1 < x \le 4 \\ 1 & \text{se} \; x > 4 \end{cases} \] si determinino gli eventuali valori del parametro \(k\) tali che \(F\) sia una CDF e, per una siffatta variabile aleatoria \(X\), si trovi la media \(E[X]\) .
Io ho fatto cosi (non so se vada bene):
1) lim (x tende a - infinito) = 0 e lim (x tende a + infinito) = 1
2) il parametro K = 2/3
3) poi non so fare
Mi potete aiutare, per favore?
Grazie mille.
Data la funzione: \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se} \; x \le 0 \\ 2\,x & \text{se} \; 0 < x \le 1 \\ k\,(1 - x) + 2 & \text{se} \; 1 < x \le 4 \\ 1 & \text{se} \; x > 4 \end{cases} \] si determinino gli eventuali valori del parametro \(k\) tali che \(F\) sia una CDF e, per una siffatta variabile aleatoria \(X\), si trovi la media \(E[X]\) .
Io ho fatto cosi (non so se vada bene):
1) lim (x tende a - infinito) = 0 e lim (x tende a + infinito) = 1
2) il parametro K = 2/3
3) poi non so fare
Mi potete aiutare, per favore?
Grazie mille.
Risposte
sicura di averlo copiato bene l'esercizio? La funzione di ripartizione (CDF) $F(x)$ deve essere non decrescente...e in questo caso non può essere, infatti:
1) vale 2 per $x=1$ e vale invece 1 per $x>4$
2) anche gli intervalli sono stati copiati male in quanto fra le varie proprietà di $F$, essa deve essere continua da destra....
insomma...controlla bene il testo originale, copiando ben bene tutto quanto e poi lo vediamo....l'esercizio è semplicissimo...
infatti la funzione di ripartizione è una funzione continua (continua da destra, nel caso discreto) non negativa, non decrescente e valgono le seguenti proprietà:
$F(-oo)=0$ e $F(+oo)=1$
con il rispetto di queste proprietà è immediato stabilire i valori del parametro richiesto, dopodiché per calcolare il valore medio $E(x)$ basta applicare la formula:
$E(X)=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx$ nel caso continuo e $sumxp(x)$ nel caso discreto
e dove ovviamente $f(x)$ è la funzione di densità di $x$ data dalla derivata di $F(x)$
Nel caso in esame, una volta corretti gli errori di copiatura, diventa una CDF di una distribuzione di probabilità continua per intervalli...il grafico della CDF deve diventare una "spezzata" che vale zero per $x<0$ e vale uno, per $x>=4$. In questo caso il calcolo della media lo si può fare anche utilizzando il grafico, dato che la media coincide con l'area sopra la spezzata della CDF
spero di essere stato chiaro
1) vale 2 per $x=1$ e vale invece 1 per $x>4$
2) anche gli intervalli sono stati copiati male in quanto fra le varie proprietà di $F$, essa deve essere continua da destra....
insomma...controlla bene il testo originale, copiando ben bene tutto quanto e poi lo vediamo....l'esercizio è semplicissimo...
infatti la funzione di ripartizione è una funzione continua (continua da destra, nel caso discreto) non negativa, non decrescente e valgono le seguenti proprietà:
$F(-oo)=0$ e $F(+oo)=1$
con il rispetto di queste proprietà è immediato stabilire i valori del parametro richiesto, dopodiché per calcolare il valore medio $E(x)$ basta applicare la formula:
$E(X)=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx$ nel caso continuo e $sumxp(x)$ nel caso discreto
e dove ovviamente $f(x)$ è la funzione di densità di $x$ data dalla derivata di $F(x)$
Nel caso in esame, una volta corretti gli errori di copiatura, diventa una CDF di una distribuzione di probabilità continua per intervalli...il grafico della CDF deve diventare una "spezzata" che vale zero per $x<0$ e vale uno, per $x>=4$. In questo caso il calcolo della media lo si può fare anche utilizzando il grafico, dato che la media coincide con l'area sopra la spezzata della CDF
spero di essere stato chiaro
ho trovato un esercizio simile....
funzione-di-distribuzione-t106056.html
mi potete spiegare e farmi capire se volete
funzione-di-distribuzione-t106056.html
mi potete spiegare e farmi capire se volete
ti ripeto per l'n-esima volta:
affinché F sia una funzione di ripartizione, ovvero una CDF, è necessario che rispetti alcune condizioni:
1)$ F(-oo)=0$
2)$F(+oo)=1$
3) $F$ deve essere non decrescente e continua (almeno da destra)
in pratica:
a) nel caso discreto F è una funzione "a scalini"
b) nel caso di distribuzione continua per intervalli la $F$ è una spezzata
c) nel caso continuo la $F$ è funzione continua e non decrescente
per calcolare i parametri di sintesi... media, varianza, moda, mediana ecc ecc si usano le note formule
il tuo esercizio NON VA BENE.....mi sono spiegato bene??????
affinché F sia una funzione di ripartizione, ovvero una CDF, è necessario che rispetti alcune condizioni:
1)$ F(-oo)=0$
2)$F(+oo)=1$
3) $F$ deve essere non decrescente e continua (almeno da destra)
in pratica:
a) nel caso discreto F è una funzione "a scalini"
b) nel caso di distribuzione continua per intervalli la $F$ è una spezzata
c) nel caso continuo la $F$ è funzione continua e non decrescente
per calcolare i parametri di sintesi... media, varianza, moda, mediana ecc ecc si usano le note formule
il tuo esercizio NON VA BENE.....mi sono spiegato bene??????
Anche io devo fare un esame, e ho diversi esercizi di allenamento molto simili a questo (tra cui uno identico).
Ho un paio, per adesso, di domande: nel verificare che la F(x) sia continua devo studiare solo il limite destro degli estremi degli intervalli di x?
E nel caso in cui abbia una F(x) continua e monotona crescente, come faccio a calcolare il valore del parametro?
La spiegazione del Prof non l'ho trovata molto chiara, e anche al liceo avevo difficoltà con equaz e disequaz parametriche...
Ho un paio, per adesso, di domande: nel verificare che la F(x) sia continua devo studiare solo il limite destro degli estremi degli intervalli di x?
E nel caso in cui abbia una F(x) continua e monotona crescente, come faccio a calcolare il valore del parametro?
La spiegazione del Prof non l'ho trovata molto chiara, e anche al liceo avevo difficoltà con equaz e disequaz parametriche...
"tommik":
ti ripeto per l'n-esima volta:
affinché F sia una funzione di ripartizione, ovvero una CDF, è necessario che rispetti alcune condizioni:
1)$ F(-oo)=0$
2)$F(+oo)=1$
3) $F$ deve essere non decrescente e continua (almeno da destra)
in pratica:
a) nel caso discreto F è una funzione "a scalini"
b) nel caso di distribuzione continua per intervalli la $F$ è una spezzata
c) nel caso continuo la $F$ è funzione continua e non decrescente
per calcolare i parametri di sintesi... media, varianza, moda, mediana ecc ecc si usano le note formule
il tuo esercizio NON VA BENE.....mi sono spiegato bene??????
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