Esercizio sul max di due v.a.
Le v.a. $X$ e$Y$ sono indipendenti e somiglianti con distribuzione geometrica. Trovare la distribuzione della v.a.
$Z=max{X,Y}-X$.
Sto cercando di risolverlo e vorrei solo sapere se sono sulla strada giusta poi vado avanti da solo ed eventualmente chiedo altri aiuti.
Allora, io ho pensato che devo spezzare il problema in due:
devo trovare prima $P(Z=0)$ e poi $P(Z=k)$.
E' giusto dire che $P(Z=0)$ coincide con $P(max{X,Y}=m, X=m)$ e che $P(Z=k)$ coincide con $P(max{X,Y}=g,Y=g,X=m)$ con $m
Siccome non sono molto ferrato, non so proprio calcolarla, potresti darmi una mano?
Ti confermo che ho interpretato le v.a. come lanci necessari per avere il primo successo.
Scusa ma la distribuzione di una geometrica non è $P(X
Quindi dipende per forza dal valore di $m$. Nel mio problema io non so quanto vale $m$, nel senso che potrebbe valere $1,2,....$
inizi portando la $p$ fuori dalla sommatoria (dato che non dipende dall' indice $k$), quindi ottieni:
$p\sum_{k=1}^m q^(k-1)=p(q^0+q^1+...+q^(m-1))$
A questo punto non ti resta che implementare i valori di $p$,$q$ e $m$
ok, va bene.
Si verifica quando $max{X,Y}=X$
Deve essere $Y\leq X$
In realtà stavolta non l'ho usato, mi chiedevo soltanto se mi fosse sfuggito un qualche ragionamento diverso. Tutto qui. Adesso mi rimane l'altro caso, ovvero devo calcolare $P(Z=k)$:
Vi ringrazio per l'aiuto.
Un' osservazione: dato che max aveva detto di interpretare $X$ e $Y$ come num. di lanci necessari, e non come tempo di attesa,
c' è da ricordare che $k$ parte da 1, quindi $kin[1,\infty)$.
$Z=max{X,Y}-X$.
Sto cercando di risolverlo e vorrei solo sapere se sono sulla strada giusta poi vado avanti da solo ed eventualmente chiedo altri aiuti.
Allora, io ho pensato che devo spezzare il problema in due:
devo trovare prima $P(Z=0)$ e poi $P(Z=k)$.
E' giusto dire che $P(Z=0)$ coincide con $P(max{X,Y}=m, X=m)$ e che $P(Z=k)$ coincide con $P(max{X,Y}=g,Y=g,X=m)$ con $m
Risposte
Mi pare di si (sono andato un attimo nel pallone con tutte quelle cose) appunto perchè si possono scrivere un po' più facilmente le condizioni.
Comunque mi pare di si.
Comunque mi pare di si.
una sola osservazione:
puoi anche omettere $max{X,Y}=g$, dato che hai imposto $Y=g$
edit: e dato che hai anche imposto $g>m$
puoi anche omettere $max{X,Y}=g$, dato che hai imposto $Y=g$
edit: e dato che hai anche imposto $g>m$
Allora, per quanto riguarda la prima probabilità avrei proceduto così:
$P(max{X,Y}=m,X=m)=P(Y\leq m|X=m)=\frac{P(Y\leq m,X=m)}{P(X=m)}=\frac{sum_(k=1)^(m)p*q^(k-1)}{p*q^(m-1)}$
Solo che, posto che sia giusto, non riesco a calcolare la sommatoria.
$P(max{X,Y}=m,X=m)=P(Y\leq m|X=m)=\frac{P(Y\leq m,X=m)}{P(X=m)}=\frac{sum_(k=1)^(m)p*q^(k-1)}{p*q^(m-1)}$
Solo che, posto che sia giusto, non riesco a calcolare la sommatoria.
Dato che $X$ e $Y$ sono indipendenti, $P(Y<=m|X=m)=P(Y<=m)=\sum_{k=1}^m p*q^(k-1)$
Che difficoltà hai riguardo alla sommatoria?
ps: le v.a. $X$ e $Y$ le stai interpretando come lanci necessari per avere il 1° successo, esatto?
non come tempo di attesa per il 1° successo
Che difficoltà hai riguardo alla sommatoria?
ps: le v.a. $X$ e $Y$ le stai interpretando come lanci necessari per avere il 1° successo, esatto?
non come tempo di attesa per il 1° successo
"Alxxx28":
Dato che $X$ e $Y$ sono indipendenti, $P(Y<=m|X=m)=P(Y<=m)=\sum_{k=1}^m p*q^(k-1)$
Che difficoltà hai riguardo alla sommatoria?
ps: le v.a. $X$ e $Y$ le stai interpretando come lanci necessari per avere il 1° successo, esatto?
non come tempo di attesa per il 1° successo
Siccome non sono molto ferrato, non so proprio calcolarla, potresti darmi una mano?
Ti confermo che ho interpretato le v.a. come lanci necessari per avere il primo successo.
Quella però è sbagliata se stai calcolando $P(Z=0)$;
pensa infatti che se io ti dico il parametro da cui dipendono le due geometriche la tua probabilità deve darmi un numero e non qualcosa in funzione di $m$.
pensa infatti che se io ti dico il parametro da cui dipendono le due geometriche la tua probabilità deve darmi un numero e non qualcosa in funzione di $m$.
"DajeForte":
Quella però è sbagliata se stai calcolando $P(Z=0)$;
pensa infatti che se io ti dico il parametro da cui dipendono le due geometriche la tua probabilità deve darmi un numero e non qualcosa in funzione di $m$.
Scusa ma la distribuzione di una geometrica non è $P(X
Quindi dipende per forza dal valore di $m$. Nel mio problema io non so quanto vale $m$, nel senso che potrebbe valere $1,2,....$
"maxsiviero":
Siccome non sono molto ferrato, non so proprio calcolarla, potresti darmi una mano?
inizi portando la $p$ fuori dalla sommatoria (dato che non dipende dall' indice $k$), quindi ottieni:
$p\sum_{k=1}^m q^(k-1)=p(q^0+q^1+...+q^(m-1))$
A questo punto non ti resta che implementare i valori di $p$,$q$ e $m$
"maxsiviero":
Ti confermo che ho interpretato le v.a. come lanci necessari per avere il primo successo.
ok, va bene.
Questo era quello che ti scrivevo ieri che si può esemplificare.
Quando è che si verifica questo evento? $max{X,Y}-X=0$
Quando è che si verifica questo evento? $max{X,Y}-X=0$
"DajeForte":
Questo era quello che ti scrivevo ieri che si può esemplificare.
Quando è che si verifica questo evento? $max{X,Y}-X=0$
Si verifica quando $max{X,Y}=X$
Questo è il primo passaggio.
Ora che relazione deve intercorere tra $X$ e $Y$ affinchè sia verificato?
Ora che relazione deve intercorere tra $X$ e $Y$ affinchè sia verificato?
"DajeForte":
Questo è il primo passaggio.
Ora che relazione deve intercorere tra $X$ e $Y$ affinchè sia verificato?
Deve essere $Y\leq X$
Certo.
Non riesco ad uscirne, continuo a fare sempre lo stesso ragionamento. Se devo calcolare $P(Y\leq X)$ io ragiono così:
$P(Y\leq X)=P(Y\leq k, X=k)=P(Y\leq k)P(X=k)$ e finisco per ottenere un valore che dipende da $k$.
$P(Y\leq X)=P(Y\leq k, X=k)=P(Y\leq k)P(X=k)$ e finisco per ottenere un valore che dipende da $k$.
Giusta a metà.
La seconda uguaglianza è vera ma la prima no.
Devi fa scorrere $K$.
$P(Y<=X)=P(Y<=X\ nn\ uuu_(k=0)^(+infty)X=k)=P(uuu_(k=0)^(+infty)[Y<=k\ nn\ X=k])=sum_(k=0)^(+infty)P(Y<=k\ nn\ X=k)$.
Nel primo passaggio interseco con l'evento certo (espresso in forma di partizione (eventi incompatibili e necessari)), nel secondo distribuisco l'unione; nel terzo ho che gli eventi tra quadre sono incompatibili (perchè costruiti a partire da intersezioni di incompatibili).
La seconda uguaglianza è vera ma la prima no.
Devi fa scorrere $K$.
$P(Y<=X)=P(Y<=X\ nn\ uuu_(k=0)^(+infty)X=k)=P(uuu_(k=0)^(+infty)[Y<=k\ nn\ X=k])=sum_(k=0)^(+infty)P(Y<=k\ nn\ X=k)$.
Nel primo passaggio interseco con l'evento certo (espresso in forma di partizione (eventi incompatibili e necessari)), nel secondo distribuisco l'unione; nel terzo ho che gli eventi tra quadre sono incompatibili (perchè costruiti a partire da intersezioni di incompatibili).
E proseguendo le uguaglianze avremmo:
$sum_(k=0)^(+oo) sum_(i=0)^(k) (1-q)*q^i*p*q^k=\frac{1}{1+q}$
Ma non c'era un modo più semplice?
$sum_(k=0)^(+oo) sum_(i=0)^(k) (1-q)*q^i*p*q^k=\frac{1}{1+q}$
Ma non c'era un modo più semplice?
Perchè hai usato Maple; le serie geometriche le devi sapere se lavori con la probabilità.
Comunque non so; sicuramente ci saranno:
per esempio potresti ragionare che $P(X>=Y)=P(Y>=X)$ e che tra questi due eventi la loro intersezione è $P(X=Y)$ che ti leva una sommatoria.
Comunque non so; sicuramente ci saranno:
per esempio potresti ragionare che $P(X>=Y)=P(Y>=X)$ e che tra questi due eventi la loro intersezione è $P(X=Y)$ che ti leva una sommatoria.
"DajeForte":
Perchè hai usato Maple; le serie geometriche le devi sapere se lavori con la probabilità.
In realtà stavolta non l'ho usato, mi chiedevo soltanto se mi fosse sfuggito un qualche ragionamento diverso. Tutto qui. Adesso mi rimane l'altro caso, ovvero devo calcolare $P(Z=k)$:
Vi ringrazio per l'aiuto.
"DajeForte":
Giusta a metà.
La seconda uguaglianza è vera ma la prima no.
Devi fa scorrere $K$.
$P(Y<=X)=P(Y<=X\ nn\ uuu_(k=0)^(+infty)X=k)=P(uuu_(k=0)^(+infty)[Y<=k\ nn\ X=k])=sum_(k=0)^(+infty)P(Y<=k\ nn\ X=k)$.
Un' osservazione: dato che max aveva detto di interpretare $X$ e $Y$ come num. di lanci necessari, e non come tempo di attesa,
c' è da ricordare che $k$ parte da 1, quindi $kin[1,\infty)$.
@Alxxx28
In effetti hai ragione. Alla fine ho calcolato le sommatorie considerando la probabilità $pq^k$ e facendo partire la somma da zero. Ma credo che sia la stessa cosa che considerare la probabilità $pq^(k-1)$ e far partire la somma da 1.
In effetti hai ragione. Alla fine ho calcolato le sommatorie considerando la probabilità $pq^k$ e facendo partire la somma da zero. Ma credo che sia la stessa cosa che considerare la probabilità $pq^(k-1)$ e far partire la somma da 1.
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