Esercizio sul max di due v.a.

[poncelet]

Le v.a. $X$ e$Y$ sono indipendenti e somiglianti con distribuzione geometrica. Trovare la distribuzione della v.a.
$Z=max{X,Y}-X$.

Sto cercando di risolverlo e vorrei solo sapere se sono sulla strada giusta poi vado avanti da solo ed eventualmente chiedo altri aiuti.
Allora, io ho pensato che devo spezzare il problema in due:
devo trovare prima $P(Z=0)$ e poi $P(Z=k)$.
E' giusto dire che $P(Z=0)$ coincide con $P(max{X,Y}=m, X=m)$ e che $P(Z=k)$ coincide con $P(max{X,Y}=g,Y=g,X=m)$ con $m

Cita

Segnala

---

Risposte

Alxxx28

12 ago 2010, 15:57

si è lo stesso risultato, però bisogna tener presente che le due densità si riferiscono a variabili con significato diverso.
Di solito si dice che se $X$ è un tempo di attesa, segue la legge geometrica classica, mentre nell' altro caso si parla di legge geometrica modificata.

Cita

Segnala

---

DajeForte

12 ago 2010, 16:06

Io infatti è una cosa che ho sempre odiato questa dualità di visione della geometrica (e di conseguenza della binomiale negativa).

Comunque
se $T$ è la variabile aleatoria che descrive il numero di lanci prima del primo successo (che quindi assume valori in $1,2,...$);
e $T'$ è la variabile aleatoria che descrive il numero di insuccessi prima del primo successo (che assume valori in $0,1,...$)
allora $T=T'+1$.

Cita

Segnala

---

poncelet

12 ago 2010, 20:11

Per la seconda parte dell'esercizio ho ragionato così:

$P(Z=k)=P(max{X,Y}-X=k)=P(Y\geq X, Y-X=k)$

L'ultima condizione si può riassumere imponendo $k>0$ ed ottenendo:

$P(Y\geq X, Y-X=k)=P(Y-X=k)$ con $k$ strettamente positivo.

Poi ho provato a ricavarmi le probabilità partendo da $k=1$ ottendendo $P(Y-X=1)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2k+1)=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Per $k=2 => P(Y-X=2)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+2)=\frac{p^2q^2}{1-q^2}$

Per $k=3 => P(Y-X=3)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+4)=\frac{p^2q^3}{1-q^2}$

Ecc.

Ottenendo alla fine:

$P(Y-X=k)=\frac{p^2q^k}{1-q^2}=\frac{(1-q)^2q^k}{1-q^2}=\frac{(1-q)q^k}{1+q}=\frac{pq^k}{1+q}$

Corretto?

Cita

Segnala

---

Alxxx28

13 ago 2010, 08:14

"maxsiviero":Per la seconda parte dell'esercizio ho ragionato così:

$P(Z=k)=P(max{X,Y}-X=k)=P(Y\geq X, Y-X=k)$

L'ultima condizione si può riassumere imponendo $k>0$ ed ottenendo:

$P(Y\geq X, Y-X=k)=P(Y-X=k)$ con $k$ strettamente positivo.

Poi ho provato a ricavarmi le probabilità partendo da $k=1$ ottendendo $P(Y-X=1)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2k+1)=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Non ho capito cosa rappresenta l' indice $i$, hai sbagliato a scrivere qualcosa per caso?
Puoi mostrare come hai ragionato per arrivare a quella serie?

Cita

Segnala

---

poncelet

13 ago 2010, 08:45

"Alxxx28":
Non ho capito cosa rappresenta l' indice $i$, hai sbagliato a scrivere qualcosa per caso?

Sì, un errore di battitura, la forma giusta è:

$P(Y-X=1)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+1)=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Modifico subito il mio post precedente.

"Alxxx28":
Puoi mostrare come hai ragionato per arrivare a quella serie?

Il ragionamento è stato questo:

$P(Y-X=1)=P(Y=1,X=0)+P(Y=2,X=1)+P(Y=3,X=2)...$

Siccome $X$ e $Y$ sono i.i.d. posso scrivere:

$P(Y-X=1)=P(Y=1)P(X=0)+P(Y=2)P(X=1)+P(Y=3)P(X=2)...=pqp+pq^2p+pq^3p^2...=$
$sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+1)=p^2 sum_(i=0)^(+oo) q^(2i+1)=p^2q sum_(i=0)^(+oo)q^2i=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Lo stesso ragionamento si può fare per $k=1,2,...$ ottenendo

$P(Y-X=k)=\frac{p^2q^k}{1-p^2}$

Cita

Segnala

---

Alxxx28

13 ago 2010, 10:02

perfetto, per me sono corretti i calcoli.

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Alxxx28]

si è lo stesso risultato, però bisogna tener presente che le due densità si riferiscono a variabili con significato diverso.
Di solito si dice che se $X$ è un tempo di attesa, segue la legge geometrica classica, mentre nell' altro caso si parla di legge geometrica modificata.

[DajeForte]

Io infatti è una cosa che ho sempre odiato questa dualità di visione della geometrica (e di conseguenza della binomiale negativa).

Comunque
se $T$ è la variabile aleatoria che descrive il numero di lanci prima del primo successo (che quindi assume valori in $1,2,...$);
e $T'$ è la variabile aleatoria che descrive il numero di insuccessi prima del primo successo (che assume valori in $0,1,...$)
allora $T=T'+1$.

[poncelet]

Per la seconda parte dell'esercizio ho ragionato così:

$P(Z=k)=P(max{X,Y}-X=k)=P(Y\geq X, Y-X=k)$

L'ultima condizione si può riassumere imponendo $k>0$ ed ottenendo:

$P(Y\geq X, Y-X=k)=P(Y-X=k)$ con $k$ strettamente positivo.

Poi ho provato a ricavarmi le probabilità partendo da $k=1$ ottendendo $P(Y-X=1)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2k+1)=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Per $k=2 => P(Y-X=2)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+2)=\frac{p^2q^2}{1-q^2}$

Per $k=3 => P(Y-X=3)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+4)=\frac{p^2q^3}{1-q^2}$

Ecc.

Ottenendo alla fine:

$P(Y-X=k)=\frac{p^2q^k}{1-q^2}=\frac{(1-q)^2q^k}{1-q^2}=\frac{(1-q)q^k}{1+q}=\frac{pq^k}{1+q}$

Corretto?

[Alxxx28]

"maxsiviero":Per la seconda parte dell'esercizio ho ragionato così:

$P(Z=k)=P(max{X,Y}-X=k)=P(Y\geq X, Y-X=k)$

L'ultima condizione si può riassumere imponendo $k>0$ ed ottenendo:

$P(Y\geq X, Y-X=k)=P(Y-X=k)$ con $k$ strettamente positivo.

Poi ho provato a ricavarmi le probabilità partendo da $k=1$ ottendendo $P(Y-X=1)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2k+1)=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Non ho capito cosa rappresenta l' indice $i$, hai sbagliato a scrivere qualcosa per caso?
Puoi mostrare come hai ragionato per arrivare a quella serie?

[poncelet]

"Alxxx28":
Non ho capito cosa rappresenta l' indice $i$, hai sbagliato a scrivere qualcosa per caso?

Sì, un errore di battitura, la forma giusta è:

$P(Y-X=1)=sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+1)=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Modifico subito il mio post precedente.

"Alxxx28":
Puoi mostrare come hai ragionato per arrivare a quella serie?

Il ragionamento è stato questo:

$P(Y-X=1)=P(Y=1,X=0)+P(Y=2,X=1)+P(Y=3,X=2)...$

Siccome $X$ e $Y$ sono i.i.d. posso scrivere:

$P(Y-X=1)=P(Y=1)P(X=0)+P(Y=2)P(X=1)+P(Y=3)P(X=2)...=pqp+pq^2p+pq^3p^2...=$
$sum_(i=0)^(+oo) p^2q^(2i+1)=p^2 sum_(i=0)^(+oo) q^(2i+1)=p^2q sum_(i=0)^(+oo)q^2i=\frac{p^2q}{1-q^2}$

Lo stesso ragionamento si può fare per $k=1,2,...$ ottenendo

$P(Y-X=k)=\frac{p^2q^k}{1-p^2}$

[Alxxx28]

perfetto, per me sono corretti i calcoli.