Esercizio sul calcolo combinatorio
Salve a tutti 
ho un dubbio su questo esercizio sul calcolo combinatorio, premetto che sto preparando Analisi uno e avendo fatto solo due lezioni sull'argomento non ho dimestichezza. Ho seguito le videolezioni postate su questo sito quindi penso (anzi spero) di esser riuscito a snocciolare il problema in maniera abbastanza corretta.
Il quesito è il seguente:
In una stalla ci sono 10 mucche, 7 pecore e 4 capre. I quanti modi si possono prelevare 13 animali in modo che nella stalla rimangano almeno 3 mucche, al piu 3 pecore ed esattamente 3 capre?
allora calcolando che nella stalla devono rimanere: 3 capre, >3 mucche , <3pecore
io devo prelevare obbligatoriamente : 1 capra, 0 mucche, 4 pecore
dunque i posti da assegnare sono 13-4 =9 e ho a disposizione 7 mucche e 3 pecore.
(CPPP ? ? ? ? ? ? ? ? ?)
a questo punto siccome non conta l'ordine e gli oggetti non si possono ripetere sono delle disposizioni semplici di 10 oggetti presi a 9
ora qui il mio dubbio: avendo due gruppi di oggetti devo trattarli in qualche modo particolare? ad esempio dividere per il numero di permutazioni delle 7 mucche edelle 3 pecore?
ho un dubbio su questo esercizio sul calcolo combinatorio, premetto che sto preparando Analisi uno e avendo fatto solo due lezioni sull'argomento non ho dimestichezza. Ho seguito le videolezioni postate su questo sito quindi penso (anzi spero) di esser riuscito a snocciolare il problema in maniera abbastanza corretta.Il quesito è il seguente:
In una stalla ci sono 10 mucche, 7 pecore e 4 capre. I quanti modi si possono prelevare 13 animali in modo che nella stalla rimangano almeno 3 mucche, al piu 3 pecore ed esattamente 3 capre?
allora calcolando che nella stalla devono rimanere: 3 capre, >3 mucche , <3pecore
io devo prelevare obbligatoriamente : 1 capra, 0 mucche, 4 pecore
dunque i posti da assegnare sono 13-4 =9 e ho a disposizione 7 mucche e 3 pecore.
(CPPP ? ? ? ? ? ? ? ? ?)
a questo punto siccome non conta l'ordine e gli oggetti non si possono ripetere sono delle disposizioni semplici di 10 oggetti presi a 9
ora qui il mio dubbio: avendo due gruppi di oggetti devo trattarli in qualche modo particolare? ad esempio dividere per il numero di permutazioni delle 7 mucche edelle 3 pecore?
Risposte
Da come hai impostato il problema sembrerebbe che tu abbia già due schemi
C1 P1 P2 P3 P4 _ _ _ _ _ _ _ _
M1 M2 M3 C2 C3 C4 _ _
per gli animali da prendere e da lasciare rispettivamente, da riempire con 3 pecore e 7 mucche. In realtà, in questo modo conti meno combinazioni (non disposizioni, perché nelle disposizioni l'ordine importa) di quelle possibili, perché le condizioni che ti vengono date parlano di QUANTI animali di ciascun gruppo prendere o lasciare, non di QUALI. Quindi, per esempio, se tu avessi deciso di prendere la capra C2 e lasciare C1 nella stalla, allora avresti avuto da riempire uno schema diverso da quello riportato sopra, ma che rispetta comunque le condizioni.
Ti consiglio di ragionare in questo modo: dalla stalla prendi sicuramente una capra, perciò hai 12 altri posti da riempire (a meno dell'ordine) con mucche e pecore. Per riempire questi 12 posti puoi usare 7 mucche e 5 pecore, 6 mucche e 6 pecore oppure 5 mucche e 7 pecore: nel primo caso hai \( \displaystyle \binom{10}{7}\binom{7}{5} \) possibilità, nel secondo caso \( \displaystyle \binom{10}{6}\binom{7}{6} \) possibilità, nel terzo caso \( \displaystyle \binom{10}{5}\binom{7}{7}=\binom{10}{5} \) possibilità. Queste si sommano tra di loro (perché sono scelte tra di loro incompatibili) e la somma poi si moltiplica per il numero di modi \( \displaystyle \binom{4}{1} \) in cui puoi scegliere la capra da lasciare nella stalla (perché questa scelta è indipendente da quella delle mucche e delle pecore).
C1 P1 P2 P3 P4 _ _ _ _ _ _ _ _
M1 M2 M3 C2 C3 C4 _ _
per gli animali da prendere e da lasciare rispettivamente, da riempire con 3 pecore e 7 mucche. In realtà, in questo modo conti meno combinazioni (non disposizioni, perché nelle disposizioni l'ordine importa) di quelle possibili, perché le condizioni che ti vengono date parlano di QUANTI animali di ciascun gruppo prendere o lasciare, non di QUALI. Quindi, per esempio, se tu avessi deciso di prendere la capra C2 e lasciare C1 nella stalla, allora avresti avuto da riempire uno schema diverso da quello riportato sopra, ma che rispetta comunque le condizioni.
Ti consiglio di ragionare in questo modo: dalla stalla prendi sicuramente una capra, perciò hai 12 altri posti da riempire (a meno dell'ordine) con mucche e pecore. Per riempire questi 12 posti puoi usare 7 mucche e 5 pecore, 6 mucche e 6 pecore oppure 5 mucche e 7 pecore: nel primo caso hai \( \displaystyle \binom{10}{7}\binom{7}{5} \) possibilità, nel secondo caso \( \displaystyle \binom{10}{6}\binom{7}{6} \) possibilità, nel terzo caso \( \displaystyle \binom{10}{5}\binom{7}{7}=\binom{10}{5} \) possibilità. Queste si sommano tra di loro (perché sono scelte tra di loro incompatibili) e la somma poi si moltiplica per il numero di modi \( \displaystyle \binom{4}{1} \) in cui puoi scegliere la capra da lasciare nella stalla (perché questa scelta è indipendente da quella delle mucche e delle pecore).
si giusto combinazioni:) avevo sbagliato a scrivere....ora ho capito grazie dell'aiuto
"magmachiuso":
In realtà, in questo modo conti meno combinazioni (non disposizioni, perché nelle disposizioni l'ordine importa) di quelle possibili, perché le condizioni che ti vengono date parlano di QUANTI animali di ciascun gruppo prendere o lasciare, non di QUALI. Quindi, per esempio, se tu avessi deciso di prendere la capra C2 e lasciare C1 nella stalla, allora avresti avuto da riempire uno schema diverso da quello riportato sopra, ma che rispetta comunque le condizioni.
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scusa ma se da come dici te non importa quali animali ma QUANTI......perchè è importante se prendo la C1 invece di C2 se mi chiede quanti modi possibili tali che ci siano X animali? in teoria essendo importante la quantità (x=3 es) non importa che siano x=3
C2,C3,C1) invece di x=3 C4,C2,C1)
Mi sono spiegato male: l'esercizio parla di modi di scelta, quindi è da intendersi che gli animali dello stesso gruppo (es. le capre) siano da trattarsi come diversi tra di loro e che quindi sia diverso prendere una capra piuttosto che un'altra (altrimenti la soluzione sarebbe banale, perché le scelte possibili sarebbero solo 3: 1+7+5, 1+6+6, 1+5+7).
Parlando di "quanti" e "quali" intendevo dire che dalla tua impostazione sembrava che le condizioni ti imponessero di portare fuori sempre la stessa capra e sempre le stesse quattro pecore (e che quindi il problema ti desse una limitazione su "quali" animali scegliere, poiché avresti dovuto scegliere le altre pecore e le altre mucche solo tra 3 e 7 rispettivamente, anziché tra 7 e 10), mentre invece le condizioni ti dicono solo "quanti" animali prendere ma ti lasciano libertà sulla scelta di "quali" e quindi ti chiedono di contare come distinte delle combinazioni diverse anche se contengono lo stesso numero di capre, pecore e mucche. Non so se mi sono spiegato meglio adesso, spero di sì
Parlando di "quanti" e "quali" intendevo dire che dalla tua impostazione sembrava che le condizioni ti imponessero di portare fuori sempre la stessa capra e sempre le stesse quattro pecore (e che quindi il problema ti desse una limitazione su "quali" animali scegliere, poiché avresti dovuto scegliere le altre pecore e le altre mucche solo tra 3 e 7 rispettivamente, anziché tra 7 e 10), mentre invece le condizioni ti dicono solo "quanti" animali prendere ma ti lasciano libertà sulla scelta di "quali" e quindi ti chiedono di contare come distinte delle combinazioni diverse anche se contengono lo stesso numero di capre, pecore e mucche. Non so se mi sono spiegato meglio adesso, spero di sì
ora si si la parola chiave nel testo è "In quanti modi si possono......"ora ho capito, grazie di tutto 
la parola chiave nel testo è "In quanti modi si possono......"ora ho capito, grazie di tutto
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