Esercizio su valore atteso
Sto avendo problemi con un esercizio, che non sembrerebbe complicato ma non riesco a risolverlo, evidentemente sbaglio qualcosa. L'esercizio è: Una scatola contiene 8 pezzi, di cui 2 difettosi.Un uomo estrae 3 pezzi dalla scatola, qual'è il valore atteso di pezzi difettosi che egli ha estratti?
Per prima cosa costruisco la variabile aleatoria X che nel caso sia 0 indica "0 pezzi difettosi estratti", con 1 indica "1 pezzo difettoso estratto", con 2 indica "2 pezzi difettosi estratti". Le disposizioni di 8 oggetti presi a 3 a 3 sono $8^3 = 512$. Per prendere 0 pezzi difettosi, ne devo prendere 3 dai 6 non difettosi, e le disposizioni sono $6^3 = 216$, quindi $P(X=0)=216/512$.
Per calcolare il caso in cui ci sia 1 pezzo difettoso, considero un elemento in più, quindi $7^3 = 343$, sottraggo le disposizioni in cui ci sono 0 elementi difettosi $343 - 216 = 127$, quindi $P(X=1)=127/512$. Per finire su tutte le disposizioni, sottraggo i casi in cui ho 0 e 1 pezzo difettoso e ottengo i casi in cui ho 2 pezzi difettosi $512 - 216 - 127 = 169$, quindi $P(X=2)=169/512$.
Quando poi vado a calcolare il valore atteso mi viene sbagliato (dovrebbe venire $3/4$). Cosa sbaglio nel mio ragionamento?
Grazie.
Per prima cosa costruisco la variabile aleatoria X che nel caso sia 0 indica "0 pezzi difettosi estratti", con 1 indica "1 pezzo difettoso estratto", con 2 indica "2 pezzi difettosi estratti". Le disposizioni di 8 oggetti presi a 3 a 3 sono $8^3 = 512$. Per prendere 0 pezzi difettosi, ne devo prendere 3 dai 6 non difettosi, e le disposizioni sono $6^3 = 216$, quindi $P(X=0)=216/512$.
Per calcolare il caso in cui ci sia 1 pezzo difettoso, considero un elemento in più, quindi $7^3 = 343$, sottraggo le disposizioni in cui ci sono 0 elementi difettosi $343 - 216 = 127$, quindi $P(X=1)=127/512$. Per finire su tutte le disposizioni, sottraggo i casi in cui ho 0 e 1 pezzo difettoso e ottengo i casi in cui ho 2 pezzi difettosi $512 - 216 - 127 = 169$, quindi $P(X=2)=169/512$.
Quando poi vado a calcolare il valore atteso mi viene sbagliato (dovrebbe venire $3/4$). Cosa sbaglio nel mio ragionamento?
Grazie.
Risposte
$E [X]=n*p=3*2/8=3/4$
Più facile di così....
Più facile di così....
Grazie mille.
Scusa, che formula hai utilizzato?
Mi sento un ignorante
Scusa, che formula hai utilizzato?
Mi sento un ignorante
nell'estrazione con reimmissione la distribuzione in oggetto sarebbe una Binomiale $B(n,p)$ appunto di media $mu=np$
Nell'estrazione senza reimmissione la distribuzione sarebbe una ipergeometrica di media $n *h/k$ dove $h/k=p$ è la % di pezzi difettosi. Come vedi in entrambi i casi la media coincide.
Sono formule che dovresti conoscere...ma comunque te le potresti ricavare...
Supponiamo ad esempio che l'estrazione sia fatta senza reimmissione (nota che il testo non lo specifica dato che, in ogni caso, il risultato non cambia...)
la distribuzione dei pezzi difettosi (che potranno essere 0,1,2) è la seguente:
$X-={{: ( 0 , (((6),(3)))/(((8),(3)))),( 1, (((2),(1))((6),(2)))/(((8),(3))) ),( 2 , (((2),(2))((6),(1)))/(((8),(3))) ) :}={{: ( 0 , 20/56 ),( 1 , 30/56 ),( 2 , 6/56 ) :}$
e quindi la media è $mu=30/56+2*6/56=42/56=3/4$
prova tu ora, nel caso di estrazione con reimmissione a controllare che la media sia sempre $3/4$
saluti...
Nell'estrazione senza reimmissione la distribuzione sarebbe una ipergeometrica di media $n *h/k$ dove $h/k=p$ è la % di pezzi difettosi. Come vedi in entrambi i casi la media coincide.
Sono formule che dovresti conoscere...ma comunque te le potresti ricavare...
Supponiamo ad esempio che l'estrazione sia fatta senza reimmissione (nota che il testo non lo specifica dato che, in ogni caso, il risultato non cambia...)
la distribuzione dei pezzi difettosi (che potranno essere 0,1,2) è la seguente:
$X-={{: ( 0 , (((6),(3)))/(((8),(3)))),( 1, (((2),(1))((6),(2)))/(((8),(3))) ),( 2 , (((2),(2))((6),(1)))/(((8),(3))) ) :}={{: ( 0 , 20/56 ),( 1 , 30/56 ),( 2 , 6/56 ) :}$
e quindi la media è $mu=30/56+2*6/56=42/56=3/4$
prova tu ora, nel caso di estrazione con reimmissione a controllare che la media sia sempre $3/4$
saluti...
Grazie ancora.
Purtroppo a settembre ho più esami tutti vicini come date, quindi sto preparando più materie tutte insieme e qualcosa mi sfugge sempre
Purtroppo a settembre ho più esami tutti vicini come date, quindi sto preparando più materie tutte insieme e qualcosa mi sfugge sempre
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