Esercizio su stimatore ML

[°Dan89°12]

Ciao a tutti,

vorrei un vostro parere sul seguente esercizio. Data la seguente funzione di densità (esponenziale negativa):

$f(x)=thetae^-(thetax)$ con $theta, x>0$

1) Stimare $theta$ con il metodo della massima verosimiglianza. Su questo nessun problema, trovo $\hat{theta}=1/(1/n\sum_{i=1}^n x_i)=1/\bar{X_n}$

2) Trovare il quantile $q_p$ in funzione di $theta$ e trovare lo stimatore di ML di $q_p$

Qui ho risolto la seguente equazione $p=int_0^(q_p) thetae^-(thetax)dx=1-e^(-thetaq_p)$ trovando che $q_p=-ln(1-p)/theta$

Inoltre, per la proprietà di invarianza degli stimatori ML si ha che $\hat{q_p}=-ln(1-p)/hat{theta}$

3) Trovare la distribuzione esatta di $\hat{q_p}$. Per quanto detto sopra, è sufficiente trovare la distribuzione di $hat{theta}$, considerando poi la costante moltiplicativa -ln(1-p). Su questo punto ho qualche problema.


Distribuzione. Asintoticamente gli stimatori ML si distribuiscono normalmente, ma per n finito non è possibile dire nulla sulla distribuzione, è corretto?

Media. $E[hat{theta}]=E[1/\bar{X_n}]=1/(E[\bar{X_n}])=1/(1/theta)=theta$
Dove ho usato il fatto che il valore atteso della media campionaria è uguale alla media di X. Qui ho sicuramente sbagliato perchè, per quanto ne so, $E[1/X]!=1/(E[X])$, ma allora come posso trovare la media?

Varianza. La varianza è data da $Var(hat{theta})=[I(hat{theta})]^-1$

$(d^2lnL(theta))/(d(theta^2))=d^2(nln(theta)-theta\sum_{i=1}^n x_i)/(d(theta^2))=-n/theta^2$

$I(theta)=-E[(d^2lnL(theta))/(d(theta^2))]=-E[-n/theta^2]=nE[1/theta^2]$

$I(hat{theta})=nE[1/hat{theta}^2]=nE[1/(\bar{X_n})^2]$

Ma a questo punto non so più come procedere...devo dire che ho anche le idee abbastanza confuso sulla varianza degli stimatori di verosimiglianza....ad esempio non mi è ben chiaro se informazione di fisher vada calcolata sulla densità congiunta (come ho fatto io), o sulla densità "semplice"? E come risolvo il valore atteso?

Qualche consiglio?

[Lo_zio_Tom]

Leggo velocemente... se hai fatto tutti i conti bene piuttosto che la distribuzione di $hat(theta)$ calcolerei quella di $Y=1/hat(theta) prop Sigma_i x_i$ che è nota...è una Gamma. Se poi moltiplichi per una costante rimane sempre Gamma, cambia solo un parametro...e così hai trovato la distribuzione esatta dello stimatore.

Se ti basta questo ok se no devo riguardare tutti i conti che hai fatto

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Ps: A questo punto la media e la varianza di $hat(theta)$ non servono per risolvere il problema. Ad ogni modo, per tua conoscenza, ecco come calcolare la media di $hat(theta)=n/(Sigma_i x_i)$

$hat(theta)=n/(Sigma_i x_i)=n/Y$ dove $Y~ "Gamma"(n;theta)=$

$E[hat(theta)]=n int_0^(+oo)1/y theta^n/(Gamma(n))y^(n-1)e^(-thetay)dy$

$=n/(n-1)theta int_0^(+oo) theta^(n-1)/(Gamma(n-1))y^((n-1)-1)e^(-thetay)dy=n/(n-1)theta$

...per la varianza fai lo stesso ragionamento calcolando il momento secondo e poi sottraendo la media al quadrato

[°Dan89°12]

Sono un pirla....hai ragione tu, non mi serve a nulla ragionare su $ hat(theta) $ perchè comunque è al denominatore nella formula di $\hat{q_p}$, ma devo ragionare su $ Y=1/hat(theta)=1/(1/\bar{X_n})=\bar{X_n}$ la cui media e varianza sono ben note, essendo una media campionaria di una esponenziale negativa.

$[Y]=1/theta$
$Var[Y]=1/(ntheta^2)$

L'unica cosa che a questo punton sarebbe ignota è la distribuzione esatta, nel senso che la media campionaria si distribuisce normalmente solo per n grande. Ti torna?

PS. Per la tipologia di esercizio, visti anche i precedenti degli altri esami, sono quasi sicuro che si risolva senza "passare" dalla gamma o da altre distribuzioni note o troppo particolari.

[Lo_zio_Tom]

Non hai ancora capito. Leggi bene ciò che ho scritto. La distribuzione esatta è una Gamma di parametri che devi calcolare (ed è facilissimo). Media e varianza della distribuzione non ti sono richiesti.

Che la distribuzione asintotica della media sia normale non interessa a nessuno in questo esercizio

Non so che cosa tu stia studiando né che esame tu debba sostenere, ma per sapere che la somma di $n$ esponenziali indipendenti si distribuisce come una Gamma non serve aver fatto Statistica 10....è una cosa che si trova alle prime pagine di inferenza di qualsiasi manuale e basta osservare che $Exp(theta)="Gamma"(1;theta)$

...se poi, a prescindere dall'esame, hai voglia di approfondire il discorso, il forum è pieno di topic interessanti che ho risolto e commentato....ricorda infine che approfondire un po' le cose ti garantisce una maggiore abilità nel risolvere gli esercizi (IMHO)

EDIT: comunque, prendendo per buoni i conti che hai fatto tu (e di cui non dubito, perché vedo che sei piuttosto bravo) la distribuzione esatta dello stimatore richiesto viene così

$hat(q)_p~"Gamma "(n; (-n theta)/(log(1-p)))$

[°Dan89°12]

Boh, nel mio libro la gamma neanche è trattata, men che meno la proprietà che menzioni Non mi sembra proprio di base, comunque adesso mi torna, mi sa che è l'unico modo per definire la distribuzione esatta dello stimatore. Ho fatto qualche ricerca, se ho ben capito quindi:

$ \hat{q_p}=-ln(1-p)/hat{theta}= -ln(1-p)/n\sum_{i=1}^n x_i ~"Gamma"(n;theta/[-ln(1-p)/n])$

PS. Mi hai anticipato