Esercizio su probabilità condizionata
Salve a tutti. Ho il seguente problema in analisi dei dati:
Una donna viene assassinata, il marito era il principale sospettato. Nel corso delle
indagini si scoprı̀ che il marito aveva più volte picchiato la moglie. L’accusa affermò che
questo rappresentava un importante indizio per la colpevolezza. La difesa ribatté che,
secondo i dati forniti dalla Polizia di Stato, tra gli uomini che picchiano le loro mogli,
solo 1 su 10000 finisce poi per assassinarla. Pertanto tale dato contribuisce solo in modo
molto marginale alla tesi di colpevolezza. In primo grado il giudice accolse la tesi della
difesa.
In secondo grado l’accusa dimostra che le tesi della difesa erano sbagliate perché la
probabilità che l’uomo abbia ammazzato la moglie, visto che questa veniva picchiata e
che è stata ammazzata, è maggiore di 1/10000, usando anche il fatto, fornito sempre dai
dati della Polizia, che nella popolazione generale 1 donna su 100000 viene ammazzata e
che tutte le donne, vengano o meno picchiate dal marito, hanno la stessa probabilità di
essere assassinate da una persona diversa dal marito.
Si ricavino le argomentazioni dell’accusa e si calcoli la probabilità che il marito sia
colpevole.
Tralasciando il testo un po' nero, come prima cosa ho definito i seguenti eventi:
A = donna uccisa
B = donna uccisa dal marito
C = donna uccisa da un estraneo (una persona che non è il marito)
D = donna picchiata dal marito
Dal testo si conoscono quindi \(\displaystyle P(A) = \frac{1}{100000} \) e \(\displaystyle P(B|D) = \frac{1}{10000} \), la domanda dice di calcolare la probabilità che il marito sia colpevole dato che picchiava la donna, cioè la probabilità che la donna sia stata uccisa dal marito dato che è stata uccisa e veniva picchiata dal marito ovvero \(\displaystyle P(B | A \cap D) \).
Bene a questo punto provo a sviluppare il calcolo ma prima o poi mi blocco sempre. So che è da trovare un limite inferiore di questa probabilità e che questo limite dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{10}{11} \), quindi la probabilità che il marito abbia ucciso la moglie dovrebbe essere maggiore o uguale. Tuttavia non riesco a ad arrivare a tale limite.
Ho sbagliato qualcosa nell'impostazione del problema magari?
Grazie in anticipo.
Una donna viene assassinata, il marito era il principale sospettato. Nel corso delle
indagini si scoprı̀ che il marito aveva più volte picchiato la moglie. L’accusa affermò che
questo rappresentava un importante indizio per la colpevolezza. La difesa ribatté che,
secondo i dati forniti dalla Polizia di Stato, tra gli uomini che picchiano le loro mogli,
solo 1 su 10000 finisce poi per assassinarla. Pertanto tale dato contribuisce solo in modo
molto marginale alla tesi di colpevolezza. In primo grado il giudice accolse la tesi della
difesa.
In secondo grado l’accusa dimostra che le tesi della difesa erano sbagliate perché la
probabilità che l’uomo abbia ammazzato la moglie, visto che questa veniva picchiata e
che è stata ammazzata, è maggiore di 1/10000, usando anche il fatto, fornito sempre dai
dati della Polizia, che nella popolazione generale 1 donna su 100000 viene ammazzata e
che tutte le donne, vengano o meno picchiate dal marito, hanno la stessa probabilità di
essere assassinate da una persona diversa dal marito.
Si ricavino le argomentazioni dell’accusa e si calcoli la probabilità che il marito sia
colpevole.
Tralasciando il testo un po' nero, come prima cosa ho definito i seguenti eventi:
A = donna uccisa
B = donna uccisa dal marito
C = donna uccisa da un estraneo (una persona che non è il marito)
D = donna picchiata dal marito
Dal testo si conoscono quindi \(\displaystyle P(A) = \frac{1}{100000} \) e \(\displaystyle P(B|D) = \frac{1}{10000} \), la domanda dice di calcolare la probabilità che il marito sia colpevole dato che picchiava la donna, cioè la probabilità che la donna sia stata uccisa dal marito dato che è stata uccisa e veniva picchiata dal marito ovvero \(\displaystyle P(B | A \cap D) \).
Bene a questo punto provo a sviluppare il calcolo ma prima o poi mi blocco sempre. So che è da trovare un limite inferiore di questa probabilità e che questo limite dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{10}{11} \), quindi la probabilità che il marito abbia ucciso la moglie dovrebbe essere maggiore o uguale. Tuttavia non riesco a ad arrivare a tale limite.
Ho sbagliato qualcosa nell'impostazione del problema magari?
Grazie in anticipo.
Risposte
Dunque,
il primo errore è che (utilizzando le tue definizioni)
$P(B|D)$ è ciò che il testo chiede di trovare mentre
$1/(10.000)=P(B nn D)$
e quindi $P(B|D)=(P(B nn D))/(P(D))=1/(10.000\cdotp)$
avendo indicato con $p$ la probabilità che il marito picchi la moglie.
Quindi tutto il problema si riduce a stimare $p$.
Già da questa relazione vediamo che la tesi della difesa non sta in piedi in quanto per il principio di coerenza deve essere
$0<=1/(10.000\cdotp)<=1$ ma essendo anche $0<=p<=1$ tale relazione diventa subito
$1/(10.000)<=1/(10.000\cdotp)<=1$
con $1/(10.000)<=p<=1$
e quindi la probabiltà cercata vale uno su diecimila soltanto nel caso inverosimile in cui la totalità dei mariti picchiano le mogli mentre aumenta man mano che la % di mariti che picchiano le mogli diminuisce tendendo a uno quando $p->1/(10.000)$.
Penso che in base alle altre informazioni sia possibile restringere il supporto di $p$ in modo da arrivare ad un limite inferiore della probabilità cercata...buon lavoro
PS: fare un bump del messaggio dopo 25 ore e 18 minuti (il regolamento impone almeno 24 ore) non sia proprio il caso....che dici?
il primo errore è che (utilizzando le tue definizioni)
$P(B|D)$ è ciò che il testo chiede di trovare mentre
$1/(10.000)=P(B nn D)$
e quindi $P(B|D)=(P(B nn D))/(P(D))=1/(10.000\cdotp)$
avendo indicato con $p$ la probabilità che il marito picchi la moglie.
Quindi tutto il problema si riduce a stimare $p$.
Già da questa relazione vediamo che la tesi della difesa non sta in piedi in quanto per il principio di coerenza deve essere
$0<=1/(10.000\cdotp)<=1$ ma essendo anche $0<=p<=1$ tale relazione diventa subito
$1/(10.000)<=1/(10.000\cdotp)<=1$
con $1/(10.000)<=p<=1$
e quindi la probabiltà cercata vale uno su diecimila soltanto nel caso inverosimile in cui la totalità dei mariti picchiano le mogli mentre aumenta man mano che la % di mariti che picchiano le mogli diminuisce tendendo a uno quando $p->1/(10.000)$.
Penso che in base alle altre informazioni sia possibile restringere il supporto di $p$ in modo da arrivare ad un limite inferiore della probabilità cercata...buon lavoro
PS: fare un bump del messaggio dopo 25 ore e 18 minuti (il regolamento impone almeno 24 ore) non sia proprio il caso....che dici?
Grazie mille! In effetti avevo il sospetto di non aver capito bene il testo e quindi le varie proprietà. Ora comunque mi è tutto chiaro. Proverò a cercare il limite inferiore di conseguenza, non dovrebbe essere troppo difficile.
Per quanto riguarda il P.S., il regolamento non lo vieta. Se poi non è opportuno farlo dopo 25 ore e 18 minuti allora forse andrebbe cambiato il regolamento no? Ad esermpio non vietarlo fino a che so, 36 ore ad esempio. Così sarebbe più opportuno fare un bump dopo 37 ore e 18 minuti?
Per quanto riguarda il P.S., il regolamento non lo vieta. Se poi non è opportuno farlo dopo 25 ore e 18 minuti allora forse andrebbe cambiato il regolamento no? Ad esermpio non vietarlo fino a che so, 36 ore ad esempio. Così sarebbe più opportuno fare un bump dopo 37 ore e 18 minuti?
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