Esercizio su distribuzioni congiunte
Salve ragazzi, ho un problema con questo esercizio per quanto riguarda il punto b e d. Per il punto b ho pensato che per ricavare la densità di X bastasse integrare in dy la densità congiunta tra 0 e +infinito, però nelle soluzioni si distinguono i casi in cui x>0 e x<0 e non riesco a capirne il perché.
Grazie in anticipo.
La densità congiunta di X e Y è data da
f(x,y) = C(y — x)e^(-y) —y
(b) Si determini la densità di X.
(c) Si determini la densità di Y.
(d) Si calcoli E[X].
(e) Si calcoli E[Y].
Grazie in anticipo.
La densità congiunta di X e Y è data da
f(x,y) = C(y — x)e^(-y) —y
(b) Si determini la densità di X.
(c) Si determini la densità di Y.
(d) Si calcoli E[X].
(e) Si calcoli E[Y].
Risposte
Mi scuso per le formule, cercherò di fare più attenzione.
non c'è nulla da scusarsi...basta scrivere le formule per bene...l'esercizio è semplicissimo e devi soltanto integrare la densità congiunta su tutto il dominio....disegna il dominio e vedi che sarà tutto semplicissimo.
Per le formule basta racchiuderle fra i simboli del dollaro, così (spero di averle interpretate bene...)
$f_(XY)(x,y)-={{: ( C(y-x)e^(-y) , ;(x,y) in D ),( 0 , ; al t r ov e ) :}$
$D={(x,y) in R^2|y>0,-y
ora prova a buttare giù una bozza di soluzione (senza guardare le soluzioni del libro perché magari troviamo una soluzione più snella...) e vediamo come risolverlo
1) integri la distribuzione congiunta su tutto il dominio e poni $=1$ per calcolare C
2) integri su tutto $X$ per calcolare la $f_Y$ e analogamente su tuttto $Y$ per calcoalare la $f_X$
tieni presente che, data la forma del dominio, le due variabili non sono indipendenti
infatti non serve distinguere i due casi. Per calcolare C basta integrare y-semplice[nota]se invece integi x-semplice allora sei obbligato a partizionare in due l'integrale; disegnando il dominio il perché è evidente.[/nota]:
$C int_(0)^(oo)e^(-y)dyint_(-y)^(y)(y-x)dx=...=2Cint_(0)^(oo)y^2e^(-y)dy=2CGamma(3)=(2C)2! =4C$
quindi $C=1/4$
Per le formule basta racchiuderle fra i simboli del dollaro, così (spero di averle interpretate bene...)
$f_(XY)(x,y)-={{: ( C(y-x)e^(-y) , ;(x,y) in D ),( 0 , ; al t r ov e ) :}$
$D={(x,y) in R^2|y>0,-y
ora prova a buttare giù una bozza di soluzione (senza guardare le soluzioni del libro perché magari troviamo una soluzione più snella...) e vediamo come risolverlo
1) integri la distribuzione congiunta su tutto il dominio e poni $=1$ per calcolare C
2) integri su tutto $X$ per calcolare la $f_Y$ e analogamente su tuttto $Y$ per calcoalare la $f_X$
tieni presente che, data la forma del dominio, le due variabili non sono indipendenti
"riccardo.faggiano":
però nelle soluzioni si distinguono i casi in cui x>0 e x<0 e non riesco a capirne il perché.
infatti non serve distinguere i due casi. Per calcolare C basta integrare y-semplice[nota]se invece integi x-semplice allora sei obbligato a partizionare in due l'integrale; disegnando il dominio il perché è evidente.[/nota]:
$C int_(0)^(oo)e^(-y)dyint_(-y)^(y)(y-x)dx=...=2Cint_(0)^(oo)y^2e^(-y)dy=2CGamma(3)=(2C)2! =4C$
quindi $C=1/4$
Innanzitutto grazie comunque per la risposta e hai interpretato benissimo l'esercizio.
Per il primo punto non c'erano problemi tanto che integrando su tutto il dominio viene $ 1/4 $ ; per il secondo punto invece mi sono trovato in difficoltà, ma effettivamente non c'è nulla di complesso: rappresentando il dominio come mi hai consigliato è stato tutto più chiaro.
Grazie ancora.
Per il primo punto non c'erano problemi tanto che integrando su tutto il dominio viene $ 1/4 $ ; per il secondo punto invece mi sono trovato in difficoltà, ma effettivamente non c'è nulla di complesso: rappresentando il dominio come mi hai consigliato è stato tutto più chiaro.
Grazie ancora.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo