Esercizio su distribuzione di Student

[singularity]

Salve a tutti, riporto testo e svolgimento di un esercizio, vorrei sapere se il procedimento che utilizzo per la risoluzione è corretto:

Testo

"Una compagnia di assicurazioni vuole valutare l’entità media delle richieste di risarcimento danni per incidenti automobilistici. Un’indagine, svolta su di un campione di 25 richieste, fornisce i seguenti risultati (dove x rappresenta la variabile “richiesta di risarcimento in migliaia di euro”):$ sum^(25) x_i = 112.12 $ e $sum^(25) (x_i)^2 = 629.89$ . Ipotizzando che x abbia distribuzione gaussiana, calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la richiesta media di risarcimento, utilizzando la statistica di Student."

Svolgimento

Per calcolare l'intervallo di confidenza ci serve sapere gli estremi dell'intervallo $[bar(x) -k sigma_bar(x) , bar(x) - ksigma_bar(x) ]$tale che $P(bar(x) -k sigma_bar(x) < hat(x) < bar(x) -k sigma_bar(x)) = 0.95 $ dove $bar(x)$ è la media campionaria e $sigma_bar(x)$ è la deviazione standard della media della popolazione.

Otteniamo subito $bar(x) = (sum^(25) x_i)/25 = 4.48$

Essendo $sigma_bar(x)= sqrt( (sum^(N)(x_i - bar(x))^2/(N(N-1)))$ , giocando un po' con le sommatorie otteniamo dai dati:

$sigma_bar(x) = 0.5$
Dato che $ P(bar(x) -k sigma_bar(x) < hat(x) < bar(x) -k sigma_bar(x)) = P(abs(t) < k) $ dove $t := (hat(x) - bar(x))/sigma_bar(x)$, essendo $hat(x)$ il "valore vero" in cui è centrata la distribuzione ed essendo $nu = N -1 = 24$ il numero di gradi di libertà, dalle tabelle otteniamo che $k = 2.064$ da cui ricaviamo:

$bar(x) - k sigma_bar(x) = bar(x) - 2 sigma_bar(x) = 3.48$
$bar(x) + k sigma_bar(x) = bar(x) + 2 sigma_bar(x) = 5.48$

Per cui l'intervallo di confidenza al 95% è $[3.48 , 5.48]$

Grazie

EDIT:
Ho corretto alcune notazioni e aggiunto il numero di gradi di libertà su osservazione di tommik.

[Lo_zio_Tom]

"singularity":
Dato che $ P(bar(x) -k sigma_bar(x) < bar(x) < bar(x) -k sigma_bar(x)) $

sì va tutto bene; non ho controllato i conti ma (se i dati della tabella sono riferiti ad una t di student con 24 gdl e al 97.5%) non ho dubbi che tu abbia fatto le cose per bene.

Devi correggere la formula che ti ho citato....e le seguenti di conseguenza....perché induce una certa ilarità.....questa è corretta....$mu$ è il parametro ignoto...cioè la media della popolazione sorgente.....

$ P(bar(x) -k sigma_bar(x) < mu < bar(x) -k sigma_bar(x)) $

anche quella della t è proprio brutta...oltre che sbagliata....per scriverla correttamente al numeratore dovresti mettere $bar(x)-mu$ dove $bar(x)$ è la media del campione mentre $mu$ è la media della media del campione, pari alla media della popolazione

"singularity":$t := (x - bar(x))/sigma_bar(x)$

Se ti interessa QUI trovi la forma corretta della distribuzione t e da dove esce

ciao

[singularity]

Ok grazie dell'aiuto. Ho corretto il messaggio iniziale per non creare confusione a chi legge.