Esercizio SMV

[Walter97lor]

Ciao a tutti, vi propongo queste esercizio che mi da problemi nella parte finale,quando vado a calcolare l'equazione di verosimiglianza. Spero che il procedimento scritto sia corretto, anche se ho dei dubbi.

Siano $ y1,..., yn $ osservazioni di una variabile casuale con distribuzione $ Yi~ N(mu, cmu^(2)) $. Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza per $ mu $

$ f(y;mu)= (1/(cmusqrt(2pi)))e^(-1/2((yi-mu)/(cmu))^(2)) $

$ L(mu)=prod_(i = 1)^(n) (1/(cmusqrt(2pi)))e^(-1/2((yi-mu)/(cmu))^(2)) = $ $ (1/(cmusqrt(2pi))^(n))e^(sum_(i =1)^(n) (-1/2((yi-mu)/(cmu))^(2))= $ $ (1/(cmusqrt(2pi))^(n))e^(-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)(yi-mu)^(2))= $

$ l(mu)= log(1/(cmusqrt(2pi))^(n))+log(e^(-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)(yi-mu)^(2)))= $
$ -nlog(cmusqrt(2pi))-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)(yi-mu)^(2)= $
$ -n[log(c)+log(mu)+log(sqrt(2pi))]-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)(yi-mu)^(2) prop $ $ -nlog(mu)-1/(2(cmu)^(2))[sum_(i =1)^(n)(yi-mu)^(2)]= $
$-nlog(mu)-1/(2(cmu)^(2))[sum_(i =1)^(n)yi^(2)+sum_(i =1)^(n)mu^(2)-2musum_(i =1)^(n)yi] = $ $ -nlog(mu)-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)yi^(2)-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)mu^(2)+(2mu)/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)yi = $
$ -nlog(mu)-1/(2(cmu)^(2))sum_(i =1)^(n)yi^(2)+(1)/(mu(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi $

$l^(i) (mu)= -n/mu-D[1/mu^(2)]1/(2(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi^(2)+D[1/mu](1)/(c^(2))sum_(i =1)^(n)yi = $ $ -n/mu+1/(mu^(3)(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi^(2)-1/(mu^(2)(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi $
$l^(i) (mu)= 0 hArr -n/mu+1/(mu^(3)(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi^(2)-1/(mu^(2)(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi= 0 $


$l^(i) (mu)= 0 hArr -n/mu+1/(mu^(3)(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi^(2)-1/(mu^(2)(c^(2)))sum_(i =1)^(n)yi= 0 hArr $ $ 1/musum_(i =1)^(n)yi^(2)=+sum_(i =1)^(n)yi+n(c^2)mu hArr $ $ +musum_(i =1)^(n)yi+nc^2mu^(2)-sum_(i =1)^(n)yi^(2)=0 hArr $ $ mu^(2)(nc^(2))+mu(sum_(i =1)^(n)yi)-sum_(i =1)^(n)yi^(2)=0 $

$ hat(mu)= (-sum_(i =1)^(n)yi+-( sqrt((sum_(i =1)^(n)yi)^(2)+4n(c^(2))(sum_(i = 1)^(n)yi^(2)))))/(2[n(c^(2))] $ $= (-sum_(i =1)^(n)yi+-((sum_(i =1)^(n)yi)+2csqrt(n(sum_(i = 1)^(n)yi^(2)))))/(2[n(c^(2))] =$

$(+) = [sqrt((sum_(i = 1)^(n)yi^(2)))]/([csqrt(n)] ) $

$(-) = -[(sum_(i =1)^(n)yi+(sqrt(n(sum_(i = 1)^(n)yi^(2)))))/([n(c)]]] $

Avrei dovuto risolvere l'esercizio utilizzando $ theta = (mu, cmu^(2))^(T) $? Io credo di no dato che il parametro da stimare è solamente $mu$, nel momento in cui però si va a svolgere vengono fuori due soluzioni di $mu$ e questo non è possibile in quanto uno stesso parametro non dovrebbe condurre a conclusioni inferenziali diverse. Grazie a chi risponderà.

[Lo_zio_Tom]

..si sa qualche cosa dei parametri? $c$ ovviamente è $>0$ ma $mu$??

Se $mu>0$ probabilmente solo una delle soluzioni della parabola è accettabile....Se invece $mu in R$ allora può essere che si trovino due soluzioni.... una positiva è una negativa. Del resto lo stimatore di MV non è per forza unico....possono essere anche infiniti. Per quanto riguarda l'esercizio non vi è nulla di complicato...È sempre il solito metodo ... ma dubito fortemente che qualcuno si prenda la briga di controllare tutta quella pletora di conti che in modo così puntuale hai scritto...

[Walter97lor]

$c$ è positiva e $mu $ credo sia definito in tutti i reali dato che nell'es. non ci sono altre annotazioni

[Walter97lor]

Certo, è sempre il solito metodo ed e per questo che ho scritto tutto il procedimento immaginando di "aiutare" la lettura, non essendo costretti gli altri utenti a svolgere questo esercizio, pieno di conti, da zero; mi era sufficientemente avere una correzione ad una ipotetica svista.

[Lo_zio_Tom]

A prima vista mi pare tu abbia fatto un errore algebrico quando hai cercato di semplificare la radice (Che non si può fare)..Per il resto mi sembra ok

Ad ogni modo complimenti per l'impegno nell'inserire le formule



Edit: anche quella $c^2$ mi piace poco...a me viene c

[Walter97lor]

Scrivere con l'editor delle formule, che suppongo sia basato su latex, è fighissimo; e poi speravo di far fare meno sforzo possibile agli eventuali utenti interessati a rispondere

[Lo_zio_Tom]

A me la logverosimiglianza (facendo i conti molto velocemente) mi viene

$l(mu)=-nlogmu-(SigmaX^2)/(2cmu^2)+(SigmaX)/(cmu)$

Quindi dubito che nella soluzione possa diventare $c^2$

Comunque a parte eventuali refusi è ok

[Walter97lor]

Può essere che il mio errore stia nel considerare $ (cmu)^(2)$ e non $c(mu^(2)) $ come, suppongo, fatto da te?
(Già ad inizio esercizio)

[Lo_zio_Tom]

certo.... tu hai scritto $N(mu,cmu^2)$ e io così l'ho interpretato....se invece è $N(mu;c^2mu^2)$ allora va bene come hai fatto...a parte l'obbrobrio della semplificazione della radice....

"Walter97lor":

$ hat(mu)= (-sum_(i =1)^(n)yi+-( sqrt((sum_(i =1)^(n)yi)^(2)+4n(c^(2))(sum_(i = 1)^(n)yi^(2)))))/(2[n(c^(2))] $ $= (-sum_(i =1)^(n)yi+-((sum_(i =1)^(n)yi)+2csqrt(n(sum_(i = 1)^(n)yi^(2)))))/(2[n(c^(2))] =$

comunque io avrei fatto qualche passaggio in meno.....


$l(mu)=-nlogmu-(SigmaX^2)/(2cmu^2)+(SigmaX)/(cmu)$

$(partial)/(partial mu)l(mu)=(SigmaX^2)/(cmu^3)-n/mu-(SigmaX)/(cmu^2)=1/(cmu^3)[-ncmu^2-muSigmaX+SigmaX^2]=0$

basta ora azzerare l'espressione $[...]$ ed arrivi subito al tuo risultato....

comunque bravo

[Walter97lor]

Grazie tommik per il chiarimento. Il mio errore sta nel fatto che spesso i miei docenti non sono unitari nella scrittura degli esercizi, nel senso che a volte presentano con, ad es., $ Y~N (mu, sigma) $ a volte $Y~N (mu,sigma^(2)) $ quindi, in questo esercizio non capivo se considerare $Y~N (mu,(cmu)^(2)) $ con $cmu=sigma $ oppure $Y~N (mu,cmu^(2)) $ con $sigma=(sqrt(c)mu)$. Spero si sia capito ciò che intendo.