Esercizio probabilità estrazione da lotto

[anyram]

Ciao a tutti,
vi posto un esercizio che è uscito in alcune tracce d'esame e come ho provato a ragionare. Spero in qualcuno che controlli il mio ragionamento o mi dica il suo.
Si hanno tre lotti (A , B , C); viene estratto casualmente un elemento da uno dei lotti e un secondo da uno dei due rimanenti. Se i tre lotti avessero rispettivamente 2/3 , 1/5 , 0 pezzi difettosi, quale sarebbe la probabilità di estrarre almeno un pezzo difettoso?

Posso calcolare la probabilità di prendere almeno un pezzo difettoso come 1-Pr(nessun pezzo difettoso) quindi devo calcolare la probabilità di non prendere nessun pezzo difettoso.
Per prima cosa abbiamo questa info:
$Pr(Abuono)=1/3$ quindi Pr(A difettoso) =2/3
$Pr(Bbuono)=4/5$ quindi Pr(B difettoso) =1/5
$Pr(Cbuono)=1$ quindi Pr(C difettoso) =0
Posso avere 3 casi:
1° caso) $P(Ab \cup Bb)=1/2*1/3+1/2*4/5=17/30$ è la prob. di estrarre un pezzo buono da A o B
$P[(Ab \cup Bb)\cap Cb]=2/3*17/30*1/3*1=17/135$ è la prob. di estrarre un pezzo buono da A o B e poi uno buono da C

2°caso) $P(Ab \cup Cb)=1/2*1/3+1/2*1=2/3$ (analogamente al caso precedente)
$P[(Ab \cup Cb)\cap Bb]=2/3*2/3*1/3*4/5=16/135$

3°caso) $P(Bb \cup Cb)=1/2*4/5+1/2*1=9/10$
$P[(Bb \cup Cb)\cap Ab]=2/3*9/10*1/3*1/3=1/15$

QUindi la prob di estrarre tutti pezzi buoni è: $17/135 + 16/135 + 1/15=14/45$
La prob di estrarre almeno un pezzo difettoso è $1 - 14/45=31/45= 0,69$

Vi sembra giusto?

[Quinzio]

"Anyram":Ciao a tutti,
vi posto un esercizio che è uscito in alcune tracce d'esame e come ho provato a ragionare. Spero in qualcuno che controlli il mio ragionamento o mi dica il suo.
Si hanno tre lotti (A , B , C); viene estratto casualmente un elemento da uno dei lotti e un secondo da uno dei due rimanenti. Se i tre lotti avessero rispettivamente 2/3 , 1/5 , 0 pezzi difettosi, quale sarebbe la probabilità di estrarre almeno un pezzo difettoso?

Posso calcolare la probabilità di prendere almeno un pezzo difettoso come 1-Pr(nessun pezzo difettoso) quindi devo calcolare la probabilità di non prendere nessun pezzo difettoso.
Per prima cosa abbiamo questa info:
$Pr(Abuono)=1/3$ quindi Pr(A difettoso) =2/3
$Pr(Bbuono)=4/5$ quindi Pr(B difettoso) =1/5
$Pr(Cbuono)=1$ quindi Pr(C difettoso) =0
Posso avere 3 casi:
1° caso) $P(Ab \cup Bb)=1/2*1/3+1/2*4/5=17/30$ è la prob. di estrarre un pezzo buono da A o B
$P[(Ab \cup Bb)\cap Cb]=2/3*17/30*1/3*1=17/135$ è la prob. di estrarre un pezzo buono da A o B e poi uno buono da C

La probablità di scegliere il lotto C è 1/3, e poi la probabilità di scegliere uno degli altri due lotti è 1/2.
Quindi la prob. di scegliere C e poi A è 1/3 * 1/2 e la probabilità di avere due pezzi buoni da questi lotti è 1 * 1/3 .
La prob. di scegliere C e poi B è 1/3 * 1/2 e la probabilità di avere due pezzi buoni da questi lotti è 1 * 4/5 .
Quindi se il primo lotto scelto è C, ho una prob di estrarre un pezzo buono di 1/3 * 1/2 (1 * 1/3 + 1 * 4/5) = 2/45

[superpippone]

2 buoni: da lotti A e B $4/45$, da lotti A e C $5/45$, da lotti B e C $12/45$ Totale $21/45$

1 buono ed 1 difettoso: da lotti A e B $9/45$, da lotti A e C $10/45$, da lotti B e C $3/45$ Totale $22/45$

2 difettosi: da lotti A e B $2/45$, da lotti A e C $0$, da lotti B e C $0$ Totale $2/45$

Probabilità di estrarre almeno un pezzo difettoso: $(22+2)/45=24/45=8/15=53,33333333%=0,5333333333$

[anyram]

"superpippone":2 buoni: da lotti A e B $4/45$, da lotti A e C $5/45$, da lotti B e C $12/45$ Totale $21/45$

1 buono ed 1 difettoso: da lotti A e B $9/45$, da lotti A e C $10/45$, da lotti B e C $3/45$ Totale $22/45$

2 difettosi: da lotti A e B $2/45$, da lotti A e C $0$, da lotti B e C $0$ Totale $2/45$

Probabilità di estrarre almeno un pezzo difettoso: $(22+2)/45=24/45=8/15=53,33333333%=0,5333333333$

Grazie per le risposte.

Nel frattempo avevo continuato a ragionare, e mi trovo con il tuo stesso risultato facendo dei calcoli un po' diversi, almeno così mi sembra:
Probabilità di 2 buoni da A e B: $1/3*4/5*1/3=4/45$
Probabilità di 2 buoni da A e C: $1/3*1*1/3=1/9$
Probabilità di 2 buoni da B e c: $4/5*1*1/3=4/15$

Probabilità di estrarre due buoni $4/45+1/9+4/15=7/15$

Probabilità di estrarre almeno un pezzo difettoso $1-7/15=8/15=0,53333=53,333%$

Che ne pensi?

[superpippone]

Ciao.
La tua soluzione sostanzialmente coincide con la mia.
Io per semplicità avevo fatto tutto in $n/45$.
Inoltre per completezza e chiarezza (nonchè per mio controllo personale....), avevo esposto tutti i conteggi.
Anche quelli non indispensabili.
Ma è una mia abitudine.
Comunque, ripeto, la tua soluzione è corretta.

[anyram]

"superpippone":Ciao.
La tua soluzione sostanzialmente coincide con la mia.
Io per semplicità avevo fatto tutto in $n/45$.
Inoltre per completezza e chiarezza (nonchè per mio controllo personale....), avevo esposto tutti i conteggi.
Anche quelli non indispensabili.
Ma è una mia abitudine.
Comunque, ripeto, la tua soluzione è corretta.

Grazie sei stato gentilissimo.

Grazie a tutti quelli che hanno risposto comunque