Esercizio probabilità elementare

[merioo93]

Buongiorno,
Sono nuovo del forum, sto cercando di preparare l' esame di probabilità al Politecnico esercitandomi su vari temi d' esame. In particolare questo esercizio mi sta creando non pochi problemi, spero che qualcuno di voi mi possa aiutare. Grazie!

Bilbo si trova davanti a due porte: una d' oro e una di ferro.
Per scegliere quale aprire, tira a caso un dado equo, scegliendo quella d' oro se viene un numero maggiore o uguale a 5. Se aprisse la porta d' oro lo aspetterebbero altre due porte, una d 'argento e una di piombo. Per scegliere quale aprire, tirerebbe a caso un dado equo e sceglierebbe quella di argento se venisse un numero maggiore o uguale a 5. Se aprisse la porta di ferro, lo aspetterebbero altre due porte, una di rame e una di stagno. Per scegliere quale aprire, tirerebbe a caso un dado equo e sceglierebbe quella di rame e venisse un numero maggiore o uguale a 3. Dietro la porta di rame c'è un tesoro, dietro ciascuna delle altre porta ad un drago.

1)Calcolare la probabilità che Bilbo trovi il tesoro
2)Sapendo che Bilbo ha trovato il tesoro, calcolare la probabilità che sia passato per la porta d' oro.

La risposta alla seconda domanda sembra banale, nel senso che essendo impossibile trovare il tesoro passando dalla porta d' oro, i due eventi sono disgiunti, e quindi la probabilità risulterebbe nulla. Potete darmi delle risposte rigorose? graziee

[gugo82]

Potreste darmi…

Non funziona così.
Sei tu a dover mostrare come hai lavorato.

E sì, la risposta alla seconda domanda è quella giusta… Devi solo scriverla meglio (ad esempio, chiarendo qual è lo spazio campionario e quali sono gli eventi, oppure dando una rappresentazione grafica della situazione).


P.S.:Il dado equo è a 6, 8, 12 o 20 facce?

[Lo_zio_Tom]

"merioo93":In particolare questo esercizio mi sta creando non pochi problemi,...

la miseria....c'è da fare una moltiplicazione....se ti crea problemi questo non oso immaginare il resto



@merioo93: certo che segnalare il messaggio a me dicendo che ciò che scrivo è off topic non mi sembra una buona idea....oltretutto il mio intervento ti dà anche un hint per la soluzione

ciò che invece risulta contra legem, come già ti ha scritto @gugo, è il tuo approccio alla Community:


[xdom="tommik"]1.2 Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

3.3 Il titolo del messaggio deve indicare l'argomento da discutere[/xdom]

ed inoltre:

3.7 È fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare.

Quindi, onde evitare spiacevoli contrasti, se sei interessato a partecipare attivamente alla Community ti chiedo cortesemente di rispettare le regole.

Ciò detto, ti saluto.

[merioo93]

io ho moltiplicato P(Tesoro) = P(ferro)*P(rame) = $ 4/6 * 4/6 = 4/9 $
è cosi banale?

mentre per la seconda domanda, P(oro|tesoro) = P(oro ∩ tesoro) / P(tesoro) = 0 essendo gli eventi 'oro' e 'tesoro' disgiunti. E' corretto?

[gugo82]

Perché ti stupisci?
Certo che è semplice… La situazione descritta nel testo è elementare, quindi l’esercizio non presenta grandi difficoltà.

Ad esempio, puoi modellizzare il problema ricorrendo ad un diagramma ad albero.

Il seguente diagramma ad albero:
[asvg]xmin=-4; xmax=12; ymin=-7; ymax=7;
noaxes();
marker = "arrowdot";
line([-4,0], [0,4]); line([-4,0], [0,-4]);
line([0,4], [4,6]); line([0,4], [4,2]);
line([0,-4], [4,-6]); line([0,-4], [4,-2]);
text([0,4],"Oro",aboveleft); text([0,-4], "Ferro", belowleft);
text([4,6],"Argento",above); text([4,2], "Piombo", below);
text([4,-2],"Rame",above); text([4,-6], "Stagno", below);
text([-2,2],"1/3",aboveleft); text([-2,-2],"2/3",belowleft);
text([2,5],"1/3",aboveleft); text([2,3],"2/3",belowleft);
text([2,-3],"2/3",aboveleft); text([2,-5],"1/3",belowleft);
text([6,6],"P(“Argento”) = 1/9", right); text([6,2],"P(“Piombo”) = 2/9", right);
text([6,-6],"P(“Stagno”) = 2/9", right); text([6,-2],"P(“Rame”) = 4/9", right);[/asvg]
è esplicativo e mostra subito il risultato al primo quesito.

Per ottenere il risultato al secondo, basta tener presente che nel diagramma non c’è alcun percorso che passi contemporaneamente per i nodi “Oro” e “Rame”, dunque $P(text(“Oro”)|text(“Rame”)) = 0$.

Il diagramma ad albero è già un ottimo modello per il problema (vista la sua semplicità), ma se vuoi modellizzare più “seriamente” il problema, definendo lo spazio e la misura di probabilità, devi essere un po’ più accorto.

Il problema è simile a quello del lancio di una moneta ripetuto due volte, solo che nel primo lancio i possibili risultati sono due, $o$ (“Oro”) ed $f$ (“Ferro”), mentre nel secondo sono quattro, i.e. $a$ (“Argento”), $p$ (“Piombo”), $r$ (“Rame”) ed $s$ (“Stagno”). Per questo motivo sembra sensato considerare come spazio campionario l’insieme di tutte le combinazioni possibili dei risultati, ossia l’insieme:

$Omega := \{ (o,a), (o,p), (o,r), (o,s), (f,a), (f,p), (f,r), (f,s) \}$.

Ragionando sulle probabilità dei singoli lanci (o sfruttando il diagramma ad albero già disegnato), ricaviamo la probabilità di ogni evento elementare dello spazio $Omega$:
[tex]\begin{align*}
\mathbb{P}(o,a) &= \frac{1}{9} & \mathbb{P}(o,p) &= \frac{2}{9} & \mathbb{P}(o,r) &= 0 & \mathbb{P}(o,s) &= 0 \\
\mathbb{P}(f,a) &= 0 & \mathbb{P}(f,p) &= 0 & \mathbb{P}(f,r) &= \frac{4}{9} & \mathbb{P}(f,s) &= \frac{2}{9}
\end{align*}[/tex]
Nel modello qui elaborato, l’evento $T=text(“Bilbo trova il tesoro”)$ che ti interessa al punto 1 è costituito dalle coppie $(x,y) in Omega$ che hanno $y=r$, dunque $T = \{ (o,r), (f,r) \}$ il quale ha probabilità $mathbb(P)(T) = mathbb(P)(o,r) + mathbb(P)(f,r) = 0 + 4/9 = 4/9$.
D’altra parte, l’evento $E=text(“Bilbo è passato per la porta O”) | text(“Bilbo ha trovato il tesoro”)$ coincide con l’evento elementare $(o,r)$, quindi $mathbb(P)(E) = mathbb(P)(o,r) = 0$.