Esercizio probabilità (distribuzioni)

[lucillina1]

Salve a tutti, nel mio ripasso di probabilità mi sono imbattuta in questo esercizio, scusate ma sono un po' arrugginita anche sulle cose base

Siano date due variabili $X$ e $Y$ indipendenti esponenziali di parametro $\lambda$, sia $U=X-Y$ e $V=\min ( X, Y )$. Ho calcolato la loro distribuazione e vorrei calcolare la distribuzione congiunta per poi capire se sono indipendenti o meno (dovrebbero esserlo, quindi la distribuzione sarà il prodotto delle marginali).

Dunque, devo calcolare:
\[
P(U \]
Non so come procedere, avevo pensato:
\[
P(Uv).
\]
Sul primo addendo:
\[
P(U \]
non so come procedere sul secondo addendo... Ma c'è una strada migliore?

[fu^2]

Guarda che $P(U $P(X
Ora devi ragionare partendo da $P(X

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[lucillina1]

Ma nel secondo passaggio affermi che $V=X$ ?? mi sembra strano, il valore $u$ potrebbe essere anche negativo e quindi il minimo tra $X$ e $Y$ non è detto che sia $X$. Hai ragionato in altro modo??

[fu^2]

si scusa ho detto una cavolata, mi scuso, quel discorso vale per $u>0$.