Esercizio probabilità
Salve a tutti,
premetto che sono nuovo del forum e spero di formulare in modo corretto le mie domande in modo da poter essere il più chiaro possibile rispettando anche le regole del forum.
Allora ho questo esercizio di probabilità:
Quattro lampadine in una stanza sono accese contemporaneamente. La durata di vita di ciascuna di esse è indipendente l'una dall'altra ed è esponenziale di parametri $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$.
1) Quanto tempo bisogna aspettare prima che se ne guastino 2? Calcolarne il valore atteso.
2) Invece quanto tempo bisogna aspettare prima che si rompano tutte? Fornire sempre il valore atteso e la distribuzione.
Allora io ho ragionato in questo modo:
Per quanto riguarda il punto 2, considerare una v.a. $T = max{T1,..., T4}$. Quindi provo a calcolare la distribuzione nel seguente modo:
$F(t) = P(T <= t) = P(T1 <= t \cap \cdots \cap T4 <= t) = P(T1 <= t) \times \cdots \times P(T4 <= t) = (1-e^(-\mu_1t)) \times \cdots \times (1-e^(-\mu_4t)) = ?$
E poi mi blocco.. non riesco più a proseguire.. Sapreste dirmi innanzitutto se è corretto considerare una v.a. max in questo caso? e poi come si prosegue nel calcolo della distribuzione e del valore atteso? Per quanto riguarda il punto 1, invece, sono completamente bloccato perché avevo pensato ad una v.a. min ma non mi quadra come ragionamento.. Perché non mi chiede la rottura di una singola lampadina ma di due!
Spero voi riusciate ad aiutarmi,
Ringrazio chi mi risponderà!!
premetto che sono nuovo del forum e spero di formulare in modo corretto le mie domande in modo da poter essere il più chiaro possibile rispettando anche le regole del forum.
Allora ho questo esercizio di probabilità:
Quattro lampadine in una stanza sono accese contemporaneamente. La durata di vita di ciascuna di esse è indipendente l'una dall'altra ed è esponenziale di parametri $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$.
1) Quanto tempo bisogna aspettare prima che se ne guastino 2? Calcolarne il valore atteso.
2) Invece quanto tempo bisogna aspettare prima che si rompano tutte? Fornire sempre il valore atteso e la distribuzione.
Allora io ho ragionato in questo modo:
Per quanto riguarda il punto 2, considerare una v.a. $T = max{T1,..., T4}$. Quindi provo a calcolare la distribuzione nel seguente modo:
$F(t) = P(T <= t) = P(T1 <= t \cap \cdots \cap T4 <= t) = P(T1 <= t) \times \cdots \times P(T4 <= t) = (1-e^(-\mu_1t)) \times \cdots \times (1-e^(-\mu_4t)) = ?$
E poi mi blocco.. non riesco più a proseguire.. Sapreste dirmi innanzitutto se è corretto considerare una v.a. max in questo caso? e poi come si prosegue nel calcolo della distribuzione e del valore atteso? Per quanto riguarda il punto 1, invece, sono completamente bloccato perché avevo pensato ad una v.a. min ma non mi quadra come ragionamento.. Perché non mi chiede la rottura di una singola lampadina ma di due!
Spero voi riusciate ad aiutarmi,
Ringrazio chi mi risponderà!!
Risposte
Ho provato a risolvere il punto 2 nel seguente modo:
Considero $T = max{T_1, \cdots, T_4$}. Ho calcolato la distribuzione cosi:
$F_T(t)=P(T≤t)=P(T1≤t∩⋯∩T4≤t)=P(T1≤t)\times⋯\timesP(T4≤t)=(1−e^(−μ1t))\times⋯\times(1−e^(−μ4t))=e^(-(\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4)t) \times (e^(\mu_1t)-1) \times (e^(\mu_2t)-1) \times (e^(\mu_3t)-1) \times (e^(\mu_4t)-1)$
Quindi, considerando la densità come:
$f_T(t) = \mu_1e^(-\mu_1t) + \mu_2e^(-\mu_2t) + \mu_3e^(-\mu_3t) + \mu_4e^(-\mu_4t)$
Calcolo adesso il valore atteso:
$E[T] = \int_0^\infty t( \mu_1e^(-\mu_1t) + \mu_2e^(-\mu_2t) + \mu_3e^(-\mu_3t) + \mu_4e^(-\mu_4t)) dt$
Ma poi non riesco a risolvere questo integrale.. qualcuno sa dirmi se è corretto quello che ho fatto e sa risolvere questo integrale?
Grazie!!
Considero $T = max{T_1, \cdots, T_4$}. Ho calcolato la distribuzione cosi:
$F_T(t)=P(T≤t)=P(T1≤t∩⋯∩T4≤t)=P(T1≤t)\times⋯\timesP(T4≤t)=(1−e^(−μ1t))\times⋯\times(1−e^(−μ4t))=e^(-(\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4)t) \times (e^(\mu_1t)-1) \times (e^(\mu_2t)-1) \times (e^(\mu_3t)-1) \times (e^(\mu_4t)-1)$
Quindi, considerando la densità come:
$f_T(t) = \mu_1e^(-\mu_1t) + \mu_2e^(-\mu_2t) + \mu_3e^(-\mu_3t) + \mu_4e^(-\mu_4t)$
Calcolo adesso il valore atteso:
$E[T] = \int_0^\infty t( \mu_1e^(-\mu_1t) + \mu_2e^(-\mu_2t) + \mu_3e^(-\mu_3t) + \mu_4e^(-\mu_4t)) dt$
Ma poi non riesco a risolvere questo integrale.. qualcuno sa dirmi se è corretto quello che ho fatto e sa risolvere questo integrale?
Grazie!!
La distribuzione del massimo è il prodotto delle singole F:
$F_T(t)=(1-e^(-t))(1-e^(-2t))(1-e^(-3t))(1-e^(-4t))$
E per la media si può usare la seguente definizione:
$E[T]=int_(0)^(+oo)[1-F_T(t)]dt$
Di calcolo praticamente immediato. Basta fare tutti i prodotti, raccogliere dove possibile e tutti sono integrali immediati
Ciao
$F_T(t)=(1-e^(-t))(1-e^(-2t))(1-e^(-3t))(1-e^(-4t))$
E per la media si può usare la seguente definizione:
$E[T]=int_(0)^(+oo)[1-F_T(t)]dt$
Di calcolo praticamente immediato. Basta fare tutti i prodotti, raccogliere dove possibile e tutti sono integrali immediati
Ciao
Ciao tommik,
innanzitutto grazie per la risposta. Volevo chiederti come mai nel calcolo della distribuzione nella tua soluzione sono presenti $-2t, -3t, -4t$ negli esponenti dei vari esponenziali? Il testo dell'esercizio non prevede valori assegnati ai vari $\mu_i$.. Sappiamo solo che i vari parametri degli esponenziali sono $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$
innanzitutto grazie per la risposta. Volevo chiederti come mai nel calcolo della distribuzione nella tua soluzione sono presenti $-2t, -3t, -4t$ negli esponenti dei vari esponenziali? Il testo dell'esercizio non prevede valori assegnati ai vari $\mu_i$.. Sappiamo solo che i vari parametri degli esponenziali sono $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$
Mi pareva di aver letto parametri $=1,2,3,4$ ma vedo che ora hai modificato il testo. Poco cambia, usa i paramenti che vuoi ma la soluzione è quella che ho scritto
Si ho modificato il testo perchè mi sono accorto di aver inserito male alcuni comandi e quindi effettivamente sembrava avessi dato dei valori ai parametri. Comunque ho provato a risolvere come mi hai detto e mi è venuto:
$F_T(t)=(1−e^(−μ_1t))\times (1−e^(−μ_2t)) \times (1−e^(−μ_3t)) \times (1−e^(−μ_4t))=e^(−(μ_1+μ_2+μ_3+μ_4)t)×(e^(μ_1t)−1)×(e^(μ_2t)−1)×(e^(μ_3t)−1)×(e^(μ_4t)−1)$
E quindi il valore atteso:
$E[T] = \int_0^\infty [1 - F_T(t)] dt = \int_0^\infty [1-(e^(−(μ_1+μ_2+μ_3+μ_4)t)×(e^(μ_1t)−1)×(e^(μ_2t)−1)×(e^(μ_3t)−1)×(e^(μ_4t)−1))] dt$
Però poi non riesco a risolvere questo integrale... non essendoci valori non è per nulla semplice per me..
Invece per quanto riguarda il punto 1 hai qualche idea??
$F_T(t)=(1−e^(−μ_1t))\times (1−e^(−μ_2t)) \times (1−e^(−μ_3t)) \times (1−e^(−μ_4t))=e^(−(μ_1+μ_2+μ_3+μ_4)t)×(e^(μ_1t)−1)×(e^(μ_2t)−1)×(e^(μ_3t)−1)×(e^(μ_4t)−1)$
E quindi il valore atteso:
$E[T] = \int_0^\infty [1 - F_T(t)] dt = \int_0^\infty [1-(e^(−(μ_1+μ_2+μ_3+μ_4)t)×(e^(μ_1t)−1)×(e^(μ_2t)−1)×(e^(μ_3t)−1)×(e^(μ_4t)−1))] dt$
Però poi non riesco a risolvere questo integrale... non essendoci valori non è per nulla semplice per me..
Invece per quanto riguarda il punto 1 hai qualche idea??
Ripeto: sono tutti integrali del tipo
$int_0^(+oo)e^(-ax)dx=1/a$
Buon anno
$int_0^(+oo)e^(-ax)dx=1/a$
Buon anno
Va bene grazie mille.. buon anno anche a te!!
Dunque prima di tutto una precisazione:
Nella traccia (che come detto hai anche modificato e quindi posso pensare che non sia una copiatura integrale di un testo ma una tua più o meno fedele ricostruzione, ed è per questo che non ho voglia di pensarci più di tanto...) si dice che le distribuzioni sono
Normalmente con ciò si intende $F(x)=1-e^(-mu_i x)$. Di solito con $mu$ si indica la media dell'esponenziale, ovvero il reciproco del parametro...esistono anche testi che indicano la distribuzione esponenziale così: $F(x)=1-e^(-x/mu)$ ma sono meno frequenti e quindi sarebbe bene specificarlo nella traccia dato che, per quanto ci sforziamo, ancora non abbiamo la sfera di cristallo...
Supponiamo quindi che la distribzione esponenziale sia questa $f(x)=mu e^(-mu x)$
(e sperando che non modifichi di nuovo la traccia, altrimenti mi vedrò costretto a bloccarti il post)
Come detto, la F del max viene
$[1-e^(-mu_1t)][1-e^(-mu_2t)][1-e^(-mu_3t)][1-e^(-mu_4t)]$
A noi per il calcolo della media serve $(1-F)$ che, anche senza fare tutti i conti, dovrebbe esserti chiaro che risulta
$e^(-mu_1t)+e^(-mu_2t)+e^(-mu_3t)+e^(-mu_4t)-e^(-(mu_1+mu_2)t)-e^(-(mu_1+mu_3)t)-e^(-(mu_1+mu_4)t)-...+...-e^(-(mu_1+mu_2+mu_3+mu_4)t)$
In pratica, $e$ elevato a tutti i parametri presi singolarmente (con segno +) a coppie sommate (6 elementi con segno -) a terne sommate (4 elementi con segno +) ed a quaterne (1 elemento con segno -)
integrare questi elementi da zero ad infinito è immediato e quindi otterrai che la media cercata è
$sum_i 1/mu_i-sumsum_(i
Per quanto riguarda il primo punto si può usare il teorema delle probabilità totali ma i conti si complicano
ciao
Nella traccia (che come detto hai anche modificato e quindi posso pensare che non sia una copiatura integrale di un testo ma una tua più o meno fedele ricostruzione, ed è per questo che non ho voglia di pensarci più di tanto...) si dice che le distribuzioni sono
"peppesensi":
La durata di vita di ciascuna di esse è indipendente l'una dall'altra ed è esponenziale di parametri $\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4$.
Normalmente con ciò si intende $F(x)=1-e^(-mu_i x)$. Di solito con $mu$ si indica la media dell'esponenziale, ovvero il reciproco del parametro...esistono anche testi che indicano la distribuzione esponenziale così: $F(x)=1-e^(-x/mu)$ ma sono meno frequenti e quindi sarebbe bene specificarlo nella traccia dato che, per quanto ci sforziamo, ancora non abbiamo la sfera di cristallo...
Supponiamo quindi che la distribzione esponenziale sia questa $f(x)=mu e^(-mu x)$
(e sperando che non modifichi di nuovo la traccia, altrimenti mi vedrò costretto a bloccarti il post)
Come detto, la F del max viene
$[1-e^(-mu_1t)][1-e^(-mu_2t)][1-e^(-mu_3t)][1-e^(-mu_4t)]$
A noi per il calcolo della media serve $(1-F)$ che, anche senza fare tutti i conti, dovrebbe esserti chiaro che risulta
$e^(-mu_1t)+e^(-mu_2t)+e^(-mu_3t)+e^(-mu_4t)-e^(-(mu_1+mu_2)t)-e^(-(mu_1+mu_3)t)-e^(-(mu_1+mu_4)t)-...+...-e^(-(mu_1+mu_2+mu_3+mu_4)t)$
In pratica, $e$ elevato a tutti i parametri presi singolarmente (con segno +) a coppie sommate (6 elementi con segno -) a terne sommate (4 elementi con segno +) ed a quaterne (1 elemento con segno -)
integrare questi elementi da zero ad infinito è immediato e quindi otterrai che la media cercata è
$sum_i 1/mu_i-sumsum_(i
Per quanto riguarda il primo punto si può usare il teorema delle probabilità totali ma i conti si complicano
ciao
La traccia è quella integrale, come ho già detto in precedenza ho modificato la traccia per un errore di inserimento della formula: $\mu_i$ con $i = 1,2,3,4$. Invece di scrivere questa formula avevo scritto erroneamente $\mu_i = 1,2,3,4$ il che portava a pensare che 1,2,3,4 fossero i valori dei vari $\mu$. Allora, solo per maggiore chiarezza, ho modificato il testo come è adesso!
Comunque grazie per la risposta, adesso ho capito tutto! Sei stato molto chiaro.
Comunque grazie per la risposta, adesso ho capito tutto! Sei stato molto chiaro.
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