Esercizio MGF

[luker1996]

Sapendo che la mgf di una v.a. $K$ è $((1)/[1-2t))^(1/2)$ calcolare media e varianza di $Y=2+3K$ dove $K$ è una v.a. Chi-Quadrato.

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Svolgimento : Utilizzando anche le nozioni presenti sul testo di Probabilità, ho calcolato la media e la varianza della funzione in questo modo :

$E{K} = phi'_k(0) = v(1-2t)^(-v/2-1)|_(t=0) = v = 1$
$E{K^2} = phi''_k(0) = 2v (v/2 +1) (1-2t)^(-v/2-2)|_(t=0) = v^2 + 2v = 1+2 = 3$
$Var{K} = E{K^2} - E^2{K} = 3-1 = 2$

Fatto cio' , passando alla funzione $Y= 3X + 2$ :

$E{Y} = E{3K} + E{2} = 3 + 2 = 5$
$Var{Y} = Var{2+3K} = Var{2} + 9Var{K} = 0 + 18 = 18$

Ho dei dubbi sul valore della varianza finale di $Y$, qualcuno che mi da una mano?

[Lo_zio_Tom]

E' tutto giusto ma inutilmente complicato.

Data la MGF del testo si vede subito che la $K~chi_((1))^2$ e quindi sai già che la sua media è $k=1$ e la varianza $2k=2$

quindi il resto è banale

$E[Y]=2+3E[K]=5$

$V[Y]=9V[K]=18$

tutto qui

[luker1996]

Perfetto, grazie