Esercizio Inferenza (tempi attesa)
Un impiegato di banca intende studiare il numero di clienti che si presentano al suo sportello tra le ore 12 e le ore 13 durante il suo turno di lavoro.
A questo scopo rileva tale numero in 10 giorni di lavoro. I valori sono così registrati:
30, 26, 35, 18, 24, 31, 28, 34, 39, 21.
- Specificare il modello probabilistico per il fenomeno aleatorio descritto. Calcolare la stima di massima verosimiglianza del numero atteso di minuti tra l'arrivo di un cliente e l'arrivo del cliente successivo nella fascia oraria in esame.
- Il direttore della banca sostiene che il numero medio di clienti che si presentano ad uno sportello tra le 12 e le 13 è pari a 33. Stabilire se, in base al test del rapporto di verosimiglianza di livello 0,01 e ai dati raccolti dall'impiegato, l'ipotesi formulata dal direttore sia da rifiutarsi.
A questo scopo rileva tale numero in 10 giorni di lavoro. I valori sono così registrati:
30, 26, 35, 18, 24, 31, 28, 34, 39, 21.
- Specificare il modello probabilistico per il fenomeno aleatorio descritto. Calcolare la stima di massima verosimiglianza del numero atteso di minuti tra l'arrivo di un cliente e l'arrivo del cliente successivo nella fascia oraria in esame.
- Il direttore della banca sostiene che il numero medio di clienti che si presentano ad uno sportello tra le 12 e le 13 è pari a 33. Stabilire se, in base al test del rapporto di verosimiglianza di livello 0,01 e ai dati raccolti dall'impiegato, l'ipotesi formulata dal direttore sia da rifiutarsi.
Risposte
Buon giorno a tutti, ho pensato che il modello probabilistico sia quello di POISSON (cioè conteggio di realizzazioni di un evento: in questo caso l'arrivo dei clienti in un arco di tempo prefissato).
Ma se il modello è poissoniano come faccio a calcolare il numero atteso di MINUTI (in questo caso mi sembra di dover utilizzare l'ESPONENZIALE) tra un cliente e l'altro.
Ma se il modello è poissoniano come faccio a calcolare il numero atteso di MINUTI (in questo caso mi sembra di dover utilizzare l'ESPONENZIALE) tra un cliente e l'altro.
sì giusto....ma nel modello di poisson, i tempi di attesa sono per l'appunto esponenziali....quindi vai avanti con la soluzione che mi sembra un esercizio interessante....posta quello che hai fatto che appena ho tempo gli dò un'occhiata
Suggerimento per l'ultimo punto:
la verosimiglianza di una poisson è questa:
$L(lambda)=e^(-nlambda)(lambda^(sumx_(i)))/(Pix_(i)!)=e^(-nlambda)/(Pix_(i)!)e^(sumx_(i)loglambda)$
La funzione di verosimiglianza appartiene alla famiglia esponenziale e la funzione $loglambda$ è monotona crescente.....quindi....
Suggerimento per l'ultimo punto:
la verosimiglianza di una poisson è questa:
$L(lambda)=e^(-nlambda)(lambda^(sumx_(i)))/(Pix_(i)!)=e^(-nlambda)/(Pix_(i)!)e^(sumx_(i)loglambda)$
La funzione di verosimiglianza appartiene alla famiglia esponenziale e la funzione $loglambda$ è monotona crescente.....quindi....
La soluzione è:
SMV per POISSON è media aritmetica. Perciò 286/10=28,6 n.clienti medio in un'ora allo sportello.
Essendo Y una esponenziale con E(Y)=1/lambda avremo che il reciproco di 28,6 è 0,0349 ore ogni cliente.
Moltiplicando per 3600 avremo 125,64 secondi cioè avremo 1 cliente ogni 2 minuti e 5 secondi.
SMV per POISSON è media aritmetica. Perciò 286/10=28,6 n.clienti medio in un'ora allo sportello.
Essendo Y una esponenziale con E(Y)=1/lambda avremo che il reciproco di 28,6 è 0,0349 ore ogni cliente.
Moltiplicando per 3600 avremo 125,64 secondi cioè avremo 1 cliente ogni 2 minuti e 5 secondi.
non mi convinci.....
(non faccio l'insegnante di professione...questo è solo un hobby, quindi dammi il beneficio di inventario)
i tempi di attesa sono distribuiti come un'esponenziale negativa e il campione è questo:
2,00
2,31
1,71
3,33
2,50
1,94
2,14
1,76
1,54
2,86
$bar(x)=2,21 rarr 2'13''$
$f(x,theta)=thetae^(-theta x)$
con semplici calcoli ottieni $hat(theta)=1/bar(x)$
per cui $hat(E)(x)=1/hat(theta)=bar(x)=2'13''$
non è meglio?
Inoltre: i conti sullo stimatore li devi comunque fare (se li sai fare ok). Per l'altro punto dipende anche che studi fai....se il testo ti dice di usare il rapporto di verosimiglianza devi fare tutti i conti....io ho utilizzato il teorema di fattorizzazione per trovare la statistica sufficiente...non so voi come fate.....
(non faccio l'insegnante di professione...questo è solo un hobby, quindi dammi il beneficio di inventario)
i tempi di attesa sono distribuiti come un'esponenziale negativa e il campione è questo:
2,00
2,31
1,71
3,33
2,50
1,94
2,14
1,76
1,54
2,86
$bar(x)=2,21 rarr 2'13''$
$f(x,theta)=thetae^(-theta x)$
con semplici calcoli ottieni $hat(theta)=1/bar(x)$
per cui $hat(E)(x)=1/hat(theta)=bar(x)=2'13''$
non è meglio?
Inoltre: i conti sullo stimatore li devi comunque fare (se li sai fare ok). Per l'altro punto dipende anche che studi fai....se il testo ti dice di usare il rapporto di verosimiglianza devi fare tutti i conti....io ho utilizzato il teorema di fattorizzazione per trovare la statistica sufficiente...non so voi come fate.....
Scusami ma tu sei arrivato a quel risultato con singole approssimazioni....
Cioè 60 minuti/ogni campione.
Io invece dico....
3600(secondi)/28,6 (n.clienti medio) è ottengo 125 secondi....che è molto più precisa come stima.
Cioè 60 minuti/ogni campione.
Io invece dico....
3600(secondi)/28,6 (n.clienti medio) è ottengo 125 secondi....che è molto più precisa come stima.
Punto 2
[formule]Ho:\Theta=33[/formule]
[formule]Ho:\Theta=/33[/formule]
devo utilizzare la funzione test con l*(y) dove al numeratore metto il parametro 33 e al denominatore il teta stimato 28,6.
Posso utilizzare la funzione w*(y)=-2ln(l(y))
[formule]Ho:\Theta=33[/formule]
[formule]Ho:\Theta=/33[/formule]
devo utilizzare la funzione test con l*(y) dove al numeratore metto il parametro 33 e al denominatore il teta stimato 28,6.
Posso utilizzare la funzione w*(y)=-2ln(l(y))
Punto 2
[formule]Ho:\Theta=33[/formule]
[formule]Ho:\Theta=/33[/formule]
devo utilizzare la funzione test con l*(y) dove al numeratore metto il parametro 33 e al denominatore il teta stimato 28,6.
Posso utilizzare la funzione w*(y)=-2ln(l(y))
[formule]Ho:\Theta=33[/formule]
[formule]Ho:\Theta=/33[/formule]
devo utilizzare la funzione test con l*(y) dove al numeratore metto il parametro 33 e al denominatore il teta stimato 28,6.
Posso utilizzare la funzione w*(y)=-2ln(l(y))
sì per quanto riguarda la stima hai ragione tu..però a questo punto lo risolviamo diversamente, senza passare per l'esponenziale:
Il modello da utilizzare è una variabile di poisson $P(lambda)$
lo stimatore di massima verosimiglianza è $hat(lambda)=1/n sum_(i)X_(i)$
Per stimare i tempi medi di arrivo occorre stimare una funzione del parametro $lambda$
$g(lambda)=60\cdot1/lambda$ e quindi per la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza abbiamo
$g(hat(lambda))=60/(28,6)=2'6''$
Per quanto riguarda il test di ipotesi, devi verificare il seguente sistema:
${{: ( H_(0):lambda=33 ),( H_(1):lambda<33 ) :}$
come ti ho indicato nei post precedenti, la statistica minimale da usare è $T=sum_(i)X_(i)$ (la cui distribuzione è evidente, per le proprietà delle poisson indipendenti)
quindi basta calcolare
$0,01=P{sum_(i)X_(i)
e confrontare il quantile trovato con il dato campionario. A me esce $ Sigma x < 287$ quindi rifiuto.
ciao
Il modello da utilizzare è una variabile di poisson $P(lambda)$
lo stimatore di massima verosimiglianza è $hat(lambda)=1/n sum_(i)X_(i)$
Per stimare i tempi medi di arrivo occorre stimare una funzione del parametro $lambda$
$g(lambda)=60\cdot1/lambda$ e quindi per la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza abbiamo
$g(hat(lambda))=60/(28,6)=2'6''$
Per quanto riguarda il test di ipotesi, devi verificare il seguente sistema:
${{: ( H_(0):lambda=33 ),( H_(1):lambda<33 ) :}$
come ti ho indicato nei post precedenti, la statistica minimale da usare è $T=sum_(i)X_(i)$ (la cui distribuzione è evidente, per le proprietà delle poisson indipendenti)
quindi basta calcolare
$0,01=P{sum_(i)X_(i)
e confrontare il quantile trovato con il dato campionario. A me esce $ Sigma x < 287$ quindi rifiuto.
ciao
Si basa sul rapporto delle verosimiglianze.
Se ho $f(y,theta)=(e^(-theta)*theta^y)/(y!)$
Posso scrivere la funzione di verosimiglianza come
$L(y,theta)=c(y)e^(-ntheta)(theta^(sumy_(i)))$
In caso di Test di ipotesi semplice vs composta si usa la funzione test così definita:
$l(y)=(L(y,theta_0))/(L(y,hat(theta)))$
Se ho $f(y,theta)=(e^(-theta)*theta^y)/(y!)$
Posso scrivere la funzione di verosimiglianza come
$L(y,theta)=c(y)e^(-ntheta)(theta^(sumy_(i)))$
In caso di Test di ipotesi semplice vs composta si usa la funzione test così definita:
$l(y)=(L(y,theta_0))/(L(y,hat(theta)))$
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