Esercizio funzione di vettore aleatorio

[Awenega]

La densità congiunta di X e Y è:
$f(x,y) = {8xy if 0
Se ${Z1 = X+Y and Z2 = X-Y$, determina $f(Z1,Z2)$

Come prima cosa ho calcolato il determinante della matrice Jacobiana che viene esattamente $-2$.
Successivamente ho risolto le equazioni di Z1 e Z2 in $x=(z1+z2)/2$ e $y=(z1-z2)/2$.
Così, $f(Z1,Z2)=1/2f(X,Y)((z1+z2)/2,(z1-z2)/2)$
Arrivato a questo punto, come posso procedere?

[Awenega]

Se ho fatto bene i calcoli, potrebbe venire come risultato finale $z1^2 - z2^2$?

[Lo_zio_Tom]

Manca il dominio

$f_(Z_1,Z_2)={{: ( z_1^2-z_2^2,; (z_1;z_2) in D),( 0 , ;"altrove" ) :}$

$D={(z_1,z_2) in RR^2: z_2<0,z_2> -z_1,z_2>z_1-2}$

[Awenega]

Grazie mille, gentilissimo

[Awenega]

Grazie @tommik per la spiegazione completa!
Vorrei chiederti l'ultimissima cosa, se fosse possibile.
Sempre nel caso della stessa densità di partenza, l'esercizio mi chiede di calcolarmi la densità $fz3$ con $Z3 = root(2)(Y)$.
In esercizi di questo tipo, come dovrei procedere?