Esercizio funzione di distribuzione
Ciao a tutti,
mi è stato assegnato un foglio di esercizi e non so risolvere uno di questi. riporto qui il testo:
Sia $X$ una variabile aleatoria con funzione di distribuzione $F$. Trovare la funzione caratteristica della variabile aleatoria $Y=\logF( X)$.
Non so davvero da dove cominciare... Ho chiesto alla professoressa e mi ha consigliato di utilizzare il seguente lemma:
Sia $X$ una variabile aleatoria con funzione di distribuzione $F(x)$. Se $F(X)$ è continua allora $F(X) \sim U(0,1)$ d(ove con $U(0,1)$ intentdo la distribuzione uniforme).
Questo consiglio non solo non mi ha aiutato ma mi ha comportato maggiori problemi perchè non capisco come mai sia vero...
Qualcuno può aiutarmi?
ciao e buon weekend!!
mi è stato assegnato un foglio di esercizi e non so risolvere uno di questi. riporto qui il testo:
Sia $X$ una variabile aleatoria con funzione di distribuzione $F$. Trovare la funzione caratteristica della variabile aleatoria $Y=\logF( X)$.
Non so davvero da dove cominciare... Ho chiesto alla professoressa e mi ha consigliato di utilizzare il seguente lemma:
Sia $X$ una variabile aleatoria con funzione di distribuzione $F(x)$. Se $F(X)$ è continua allora $F(X) \sim U(0,1)$ d(ove con $U(0,1)$ intentdo la distribuzione uniforme).
Questo consiglio non solo non mi ha aiutato ma mi ha comportato maggiori problemi perchè non capisco come mai sia vero...
Qualcuno può aiutarmi?
ciao e buon weekend!!
Risposte
Forse il suggerimento può anche servire, ma vorrei sapere come mai la $F(X)$ è continua.
non ho idea del perchè ed il testo dell'esercizio l'ho riportato nel dettaglio.. può essere che per qualche motivo che non vedo la funione caratteristica di $Y=log F(X)$ sia continua? e per caso sai darmi o indicarmi dove trovare la dimostrazione (o anche uno sketch) del lemma suggeritomi??
grazie
ciao
grazie
ciao
Il lemma ha come ipotesi che sia continua la $F(X)$, e mi piacerebbe sapere se lo è sempre, visto che nel testo dell'esercizio non è specificato.
Comunque la dimostrazione del lemma non sembra difficilissima. Io calcolerei la funzione di ripartizione della $F(X)$:
$P(F(X)\leq t)=P(X\leq F^{-1}(t))=F(F^{-1}(t))=t$ per $01$.
E tale funzione di ripartizione è proprio la funzione di ripartizione della $U(0,1)$.
Comunque la dimostrazione del lemma non sembra difficilissima. Io calcolerei la funzione di ripartizione della $F(X)$:
$P(F(X)\leq t)=P(X\leq F^{-1}(t))=F(F^{-1}(t))=t$ per $0
E tale funzione di ripartizione è proprio la funzione di ripartizione della $U(0,1)$.
Forse ho capito qualcosa e spero tu possa confermarmi se quello che scrivo è corretto o dirmi se sto sbagliando. Io ho:
$X$ variabile aleatoria con funzione di distribuzione $F_X$ e $Y=log F_{X}(X)$ nuova variabile aleatoria della quale cerco qualche informazione. Se cerco la funzione di distribuzione della $Y$ ho:
$F_{Y}(r)=P(Y\leq r)=P(log F_{X}(X)\leq r)=P(F_{X}(X)\leq e^r)$.
ora mi piacerebbe scrivere $P(F_{X}(X)\leq e^r)=P(X\leq F_{X}^{-1}(e^r))=F_{X}(F_{X}^{-1}(e^r))=e^r$ e poi la strada sarebbe in discesa..
Quello che però non sono sicuro di poter fare è il passaggio $P(F_{X}(X)\leq e^r)=P(X\leq F_{X}^{-1}(e^r))$ dato che una generica funzione di distribuzione è si continua a destra e non decrescente ma in generale non mi pare sia invertibile. Giusto?
$X$ variabile aleatoria con funzione di distribuzione $F_X$ e $Y=log F_{X}(X)$ nuova variabile aleatoria della quale cerco qualche informazione. Se cerco la funzione di distribuzione della $Y$ ho:
$F_{Y}(r)=P(Y\leq r)=P(log F_{X}(X)\leq r)=P(F_{X}(X)\leq e^r)$.
ora mi piacerebbe scrivere $P(F_{X}(X)\leq e^r)=P(X\leq F_{X}^{-1}(e^r))=F_{X}(F_{X}^{-1}(e^r))=e^r$ e poi la strada sarebbe in discesa..
Quello che però non sono sicuro di poter fare è il passaggio $P(F_{X}(X)\leq e^r)=P(X\leq F_{X}^{-1}(e^r))$ dato che una generica funzione di distribuzione è si continua a destra e non decrescente ma in generale non mi pare sia invertibile. Giusto?
"lorereds":
Quello che però non sono sicuro di poter fare è il passaggio $P(F_{X}(X)\leq e^r)=P(X\leq F_{X}^{-1}(e^r))$ dato che una generica funzione di distribuzione è si continua a destra e non decrescente ma in generale non mi pare sia invertibile. Giusto?
Giusto, potrebbe avere degli scalini... E in questo caso anche la dimostrazione del lemma andrebbe a farsi benedire
Grazie mille sei stato gentilissimo!!!
Buon fine settimana
ciao
Buon fine settimana
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo