Esercizio F-distribution e T.
Salve, volevo di nuovo chiedere un vostro parere su un esercizio. Diviso in due punti, il primo nel quale devo trovare il valore delle c, ma non capisco come fare per quelli al numeratore osia c1 e c2. E il secondo punto per sapere se era giusto come avevo risolto. Grazie a chi risponderà.
Let \(\displaystyle X \sim {\cal N} (14, 9) \) and let \(\displaystyle Y \) and \(\displaystyle Z \) be standard Normal variables. Moreover, supoose that the three variables are independent.
a) Find the values of \(\displaystyle c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \) so that
\(\displaystyle \frac{\displaystyle{ \left[ c_2 \left( X + c_1 \right) \right]^2 } }{ \displaystyle{ c_3 \, \left( Y^2 + Z^2 \right) } } \, \sim F \left( c_4 , c_5 \right) \)
In una generica funzione \(\displaystyle F(m,n) \) definita secondo \(\displaystyle Z= \frac{\displaystyle{ \left( X_1^2+ X_2^2 + ... + X_m^2\right)/m} }{ \displaystyle{ \left( Y_1^2 + Y_2^2 + ...+ Y_n^2 \right)/n } } \) dove \(\displaystyle X_1^2+ X_2^2 + ... + X_m^2 \) e \(\displaystyle Y_1^2 + Y_2^2 + ...+ Y_n^2 \) sono iid e distribuite secondo\(\displaystyle N(0,1) \) , \(\displaystyle m \) sono i degrees of Freedom del numeratore e \(\displaystyle n \) quelli del denominatore.
Nel nostro caso in specifico, la nostra funzione F ha una variabile \(\displaystyle X \) al numeratore e due variabili, \(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z \) al denominatore. Di conseguenza ci risulta che la funzione possiede una degrees of freedom al numeratore e due invece al denominatore, per cui \(\displaystyle c_4=1 \) e \(\displaystyle c_5=2 \).
\(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z \) sono delle variabili Normali standrad, per cui possiamo scriverlo come \(\displaystyle (Y^2+Z^2)/2 \) in tale modo ottengo che \(\displaystyle c_3=1/2 \)
b) Consider now a sample of size \(\displaystyle n= 22 \) from \(\displaystyle X \) and denote by \(\displaystyle \overline{X} \) and \(\displaystyle S^2 \) the corresponding sample mean and sample variance respectively. Provide information about the following probability
\(\displaystyle P \left( \frac{ \displaystyle{ \overline{X} - 14 } }{\displaystyle{ S \, / \, \sqrt{22} }} < 1,75 \right) \)
Dal nostro campione distribuito secondo \(\displaystyle X \sim {\cal N} (14, 9) \) si ottiene \(\displaystyle T =\frac{ \displaystyle{ \overline{X} - 14 } }{\displaystyle{ S \, / \, \sqrt{22} }} < 1.75 \) \(\displaystyle \sim t \left (n-1) \right) \) , dove \(\displaystyle n \) è la dimensione del nostro campione.
Nel nostro caso \(\displaystyle P \left( \frac{ \displaystyle{ \overline{X} - 14 } }{\displaystyle{ S \, / \, \sqrt{22} }} < 1,75 \right) \) = \(\displaystyle P(t(21)<1,75) \) questa distribuzione si approssima ad una Gaussiana.
Per cui \(\displaystyle P(t(21)<1,75)=Φ(1,75)=0,9599 \)
Let \(\displaystyle X \sim {\cal N} (14, 9) \) and let \(\displaystyle Y \) and \(\displaystyle Z \) be standard Normal variables. Moreover, supoose that the three variables are independent.
a) Find the values of \(\displaystyle c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \) so that
\(\displaystyle \frac{\displaystyle{ \left[ c_2 \left( X + c_1 \right) \right]^2 } }{ \displaystyle{ c_3 \, \left( Y^2 + Z^2 \right) } } \, \sim F \left( c_4 , c_5 \right) \)
In una generica funzione \(\displaystyle F(m,n) \) definita secondo \(\displaystyle Z= \frac{\displaystyle{ \left( X_1^2+ X_2^2 + ... + X_m^2\right)/m} }{ \displaystyle{ \left( Y_1^2 + Y_2^2 + ...+ Y_n^2 \right)/n } } \) dove \(\displaystyle X_1^2+ X_2^2 + ... + X_m^2 \) e \(\displaystyle Y_1^2 + Y_2^2 + ...+ Y_n^2 \) sono iid e distribuite secondo\(\displaystyle N(0,1) \) , \(\displaystyle m \) sono i degrees of Freedom del numeratore e \(\displaystyle n \) quelli del denominatore.
Nel nostro caso in specifico, la nostra funzione F ha una variabile \(\displaystyle X \) al numeratore e due variabili, \(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z \) al denominatore. Di conseguenza ci risulta che la funzione possiede una degrees of freedom al numeratore e due invece al denominatore, per cui \(\displaystyle c_4=1 \) e \(\displaystyle c_5=2 \).
\(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z \) sono delle variabili Normali standrad, per cui possiamo scriverlo come \(\displaystyle (Y^2+Z^2)/2 \) in tale modo ottengo che \(\displaystyle c_3=1/2 \)
b) Consider now a sample of size \(\displaystyle n= 22 \) from \(\displaystyle X \) and denote by \(\displaystyle \overline{X} \) and \(\displaystyle S^2 \) the corresponding sample mean and sample variance respectively. Provide information about the following probability
\(\displaystyle P \left( \frac{ \displaystyle{ \overline{X} - 14 } }{\displaystyle{ S \, / \, \sqrt{22} }} < 1,75 \right) \)
Dal nostro campione distribuito secondo \(\displaystyle X \sim {\cal N} (14, 9) \) si ottiene \(\displaystyle T =\frac{ \displaystyle{ \overline{X} - 14 } }{\displaystyle{ S \, / \, \sqrt{22} }} < 1.75 \) \(\displaystyle \sim t \left (n-1) \right) \) , dove \(\displaystyle n \) è la dimensione del nostro campione.
Nel nostro caso \(\displaystyle P \left( \frac{ \displaystyle{ \overline{X} - 14 } }{\displaystyle{ S \, / \, \sqrt{22} }} < 1,75 \right) \) = \(\displaystyle P(t(21)<1,75) \) questa distribuzione si approssima ad una Gaussiana.
Per cui \(\displaystyle P(t(21)<1,75)=Φ(1,75)=0,9599 \)
Risposte
Al numeratore hai che
$((X-14)/3)^2~chi_((1))^2$
Quindi
$c_1=-14$
$c_2=1/3$
Ed è proprio per il fatto che al numeratore hai una $(chi_((1))^2)/1$ che il rapporto in questione è una $F(1;2)$, ovvero il rapporto tra due $chi^2$ indipendenti divise per i rispettivi gdl.
$(chi_((1))^2/1)/(chi_((2))^2/2)~ F(1;2)$
Il resto mi sembra tutto ok . Nel secondo puoi anche evitare di approssimare con la gaussiana ma lasciare indicato che il risultato è la probabilità della t con 21 gdl (che viene circa 95.26%)
$((X-14)/3)^2~chi_((1))^2$
Quindi
$c_1=-14$
$c_2=1/3$
Ed è proprio per il fatto che al numeratore hai una $(chi_((1))^2)/1$ che il rapporto in questione è una $F(1;2)$, ovvero il rapporto tra due $chi^2$ indipendenti divise per i rispettivi gdl.
$(chi_((1))^2/1)/(chi_((2))^2/2)~ F(1;2)$
Il resto mi sembra tutto ok . Nel secondo puoi anche evitare di approssimare con la gaussiana ma lasciare indicato che il risultato è la probabilità della t con 21 gdl (che viene circa 95.26%)
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