Esercizio estrazioni da urna
Abbiamo un'Urna con 4 palline, 2 Rosse e 2 Nere.
Estraiamo una pallina dall'Urna reinserendola se è Nera, non reinserendola se è Rossa.
Indichiamo con X la variabile: Numero di tiri necessari per estrarre l'ultima pallina rossa.
Calcolare la distribuzione di X e il suo valore medio.
E' un esercizio postato tempo fa da un utente sul forum. Lo risolsi ma non postai la soluzione dato che l'OP non si è nemmeno degnato di provare a mettere una sua bozza risolutiva.
E' oggettivamente piuttosto interessante, quindi ve lo ripropongo.
Estraiamo una pallina dall'Urna reinserendola se è Nera, non reinserendola se è Rossa.
Indichiamo con X la variabile: Numero di tiri necessari per estrarre l'ultima pallina rossa.
Calcolare la distribuzione di X e il suo valore medio.
E' un esercizio postato tempo fa da un utente sul forum. Lo risolsi ma non postai la soluzione dato che l'OP non si è nemmeno degnato di provare a mettere una sua bozza risolutiva.
E' oggettivamente piuttosto interessante, quindi ve lo ripropongo.
Risposte
X è a valori in $\mathbb{N}_{\ge 2}$, quindi è discreta. Suppongo che le estrazioni siano casuali e indipendenti fra loro.
Sia k intero $\ge2$, indicato con $R_m = R_m(k)$ l'evento 'viene estratta una pallina rossa all'm-esima estrazione ($1\le m \le k-1$) e una alla k-esima' si ha: $P(X=k) = \sum_{m=1}^{k-1}P(R_m) = \sum_{m=1}^{k-1} ( (1/2)^(m-1)*1/2 * (2/3)^(k-1-m)*1/3 )$ (si devono estrarre palline nere nelle prime m-1 estrazioni, una rossa alla m-esima, nere dalla m+1-esima alla k-1-esima e infine l'ultima rossa rimasta) $= (2/3)^(k-1)*(1-(3/4)^(k-1)) =: p_X(k)$
Infatti $\sum_{k=2}^{\infty}p_X(k)=1$, quindi questa è effettivamente una densità discreta.
Inoltre dovrebbe essere $E(X)=8$, ma devo controllare.
Sia k intero $\ge2$, indicato con $R_m = R_m(k)$ l'evento 'viene estratta una pallina rossa all'm-esima estrazione ($1\le m \le k-1$) e una alla k-esima' si ha: $P(X=k) = \sum_{m=1}^{k-1}P(R_m) = \sum_{m=1}^{k-1} ( (1/2)^(m-1)*1/2 * (2/3)^(k-1-m)*1/3 )$ (si devono estrarre palline nere nelle prime m-1 estrazioni, una rossa alla m-esima, nere dalla m+1-esima alla k-1-esima e infine l'ultima rossa rimasta) $= (2/3)^(k-1)*(1-(3/4)^(k-1)) =: p_X(k)$
Infatti $\sum_{k=2}^{\infty}p_X(k)=1$, quindi questa è effettivamente una densità discreta.
Inoltre dovrebbe essere $E(X)=8$, ma devo controllare.
a me viene
$E[X]=5$
$E[X]=sum_(n=2)^(oo)n(2/3)^(n-1)-sum_(n=2)^(oo)n(1/2)^(n-1)$
pongo $2/3=p_1$; $1/2=p_2$
$E[X]=sum_(n=2)^(oo)d/(dp_1)p_1^n-sum_(n=2)^(oo)d/(dp_2)p_2^n=d/(dp_1)p_1^2/(1-p_1)-d/(dp_2)p_2^2/(1-p_2)=$
$=(2p_1(1-p_1)+p_1^2)/(1-p_1)^2-(2p_2(1-p_2)+p_2^2)/(1-p_2)^2=8-3=5$
$E[X]=5$
$E[X]=sum_(n=2)^(oo)n(2/3)^(n-1)-sum_(n=2)^(oo)n(1/2)^(n-1)$
pongo $2/3=p_1$; $1/2=p_2$
$E[X]=sum_(n=2)^(oo)d/(dp_1)p_1^n-sum_(n=2)^(oo)d/(dp_2)p_2^n=d/(dp_1)p_1^2/(1-p_1)-d/(dp_2)p_2^2/(1-p_2)=$
$=(2p_1(1-p_1)+p_1^2)/(1-p_1)^2-(2p_2(1-p_2)+p_2^2)/(1-p_2)^2=8-3=5$
Hai ragione mi ero perso un esponenziale per strada, ma te come l'hai calcolato? io ho usato la funzione generatrice dei momenti
Io l'ho calcolato analiticamente con le serie e un piccolo accrocchio...ho messo tutti i passaggi.....vedi se ti piace come metodo...let me know
Bello, anche più veloce
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