Esercizio estrazione di un gettone
Salve a tutti stavo risolvendo un esercizio che prevedeva l'estrazione di un gettone dall'urna.L'esercizio è il seguente:
E' data un’urna contenente 3 gettoni numerati (da 1 a 3). Si estragga casualmente un gettone e si indichi con X la variabile aleatoria che esprime il risultato dell’estrazione. Calcolare il valore atteso e la varianza di X.Si effettuino poi due estrazioni consecutive (senza reintegro), e sia Y la variabile aleatoria che calcola la somma dei risultati ottenuti. Calcolare il valore atteso e la varianza di Y.
In pratica sono riuscito a risolvere solo parte dell'esercizio e in particolare sono riuscito a determinare tutto per la variabile X,in quanto il procedimento è abbastanza elementare.Per quanto riguarda la variabile Y invece le cose si complicano.Inizialmente ho notato che la probabilità di estrazione di uno dei gettoni anche per Y rimaneva $P=1/3$ per la prima estrazione e diventava $P=1/2$ per la seconda estrazione.Quindi la probabilità di estrazione dei gettoni non è uniforme per tutte le estrazioni.Inoltre ho notato che possiamo avere un massimo di 3 combinazioni.Cioè si può avere come esito finale che Y sia uguale a 3(se escono un 1 e un 2),si può avere che Y sia uguale a 4(se escono un 1 e un 3) e si può avere che Y sia uguale a 5(se escono un 2 e un 3).Fatte queste considerazioni non sono riuscito più a proseguire.Come posso continuare?
E' data un’urna contenente 3 gettoni numerati (da 1 a 3). Si estragga casualmente un gettone e si indichi con X la variabile aleatoria che esprime il risultato dell’estrazione. Calcolare il valore atteso e la varianza di X.Si effettuino poi due estrazioni consecutive (senza reintegro), e sia Y la variabile aleatoria che calcola la somma dei risultati ottenuti. Calcolare il valore atteso e la varianza di Y.
In pratica sono riuscito a risolvere solo parte dell'esercizio e in particolare sono riuscito a determinare tutto per la variabile X,in quanto il procedimento è abbastanza elementare.Per quanto riguarda la variabile Y invece le cose si complicano.Inizialmente ho notato che la probabilità di estrazione di uno dei gettoni anche per Y rimaneva $P=1/3$ per la prima estrazione e diventava $P=1/2$ per la seconda estrazione.Quindi la probabilità di estrazione dei gettoni non è uniforme per tutte le estrazioni.Inoltre ho notato che possiamo avere un massimo di 3 combinazioni.Cioè si può avere come esito finale che Y sia uguale a 3(se escono un 1 e un 2),si può avere che Y sia uguale a 4(se escono un 1 e un 3) e si può avere che Y sia uguale a 5(se escono un 2 e un 3).Fatte queste considerazioni non sono riuscito più a proseguire.Come posso continuare?
Risposte
"Sergio":
E allora? Sembra che ti getti nel panico qualsiasi situazione di probabilità non uniforme, al punto che non vedi l'uniformità anche quando c'è
Eh si non ti sei proprio sbagliato.In pratica vado in panico ogni qual volta la probabilità non è uniforme.Il perchè? Non lo so a dire il vero.Sembra che mi blocchi e che non riesca a trovare nessuna soluzione. Comunque ritornando a noi e parlando dell'esercizio ho cercato di calcolarmi la probabilità che mi esca una delle 3 combinazioni possibili.Per calcolare questa probabilità ho costruito graficamente un albero (inteso ovviamente nel senso matematico di grafo) dove i primi tre vertici sono i 3 gettoni che ho inizialmente a disposizione. Dopo aver scelto ipoteticamente il primo gettone ovviamente potevo avere ancora altri due vertici. Sviluppando l'albero in questo modo e mettendo su ogni possibile cammino la probabilità di estrazione mi sono trovato che nei primi tre vertici ovviamente avevo una probabilità $P=1/3$ mentre nei vertici "figli" una probabilità $P=1/2$. Quindi per calcolare la probabilità di uscita di ogni combinazione,dopo aver scelto uno dei tre vertici "padre" (ipotizzando quindi che al primo lancio fosse uscito il valore scelto da me),ho moltiplicato $1/3*(2*1/2)$ in quanto ogni cammino è possibile.Quindi ho ottenuto che la probabilità di uscita di ogni combinazione è $P=1/3$.Quindi mi trovo in pratica con il tuo risultato.Il problema è che non so se il ragionamento che ho effettuato per arrivare alla soluzione sia corretto oppure no.Quindi in sostanza vorrei sapere se il mio ragionamento è corretto oppure no.
Innanzitutto ti vorrei ringraziare per il tuo aiuto prezioso.Per quanto riguarda l'esercizio da te proposto ho ragionato così:
Lanciando i due dadi avremo che la probabilità di uscita per ogni valore dei due dadi è pari a $1/6$.Quindi noi avremo che i valori che può assumere la nostra X sono racchiusi nell'intervallo $[2,12]$.Ora quello che ci chiediamo è: qual'è il valore più probabile per X? Diremo che tutti i valori compresi nell'intervallo $[2,12]$ hanno la stessa probabilità di uscita pari a $P=1/36$.Quindi avremo che la sua funzione di distribuzione sarà $F=X/36$ in quanto la variabile X risulta essere uniforme e discreta.
Lanciando i due dadi avremo che la probabilità di uscita per ogni valore dei due dadi è pari a $1/6$.Quindi noi avremo che i valori che può assumere la nostra X sono racchiusi nell'intervallo $[2,12]$.Ora quello che ci chiediamo è: qual'è il valore più probabile per X? Diremo che tutti i valori compresi nell'intervallo $[2,12]$ hanno la stessa probabilità di uscita pari a $P=1/36$.Quindi avremo che la sua funzione di distribuzione sarà $F=X/36$ in quanto la variabile X risulta essere uniforme e discreta.
"Sergio":
Forse non hai fatto caso alla mia firma
Si in effetti non ci avevo fatto caso
"Sergio":
Quel "quindi" non lo capisco
In effetti mi sono espresso male.Mettendo quel "quindi" all'inizio della frase ho fatto intendere erroneamente che lo spettro della variabile aleatoria l'avessi dedotto come conseguenza della probabilità d'uscita dei valori dei due dadi.Voglio dire che con quel "quindi" non volevo intendere quel che si è capito.Purtroppo però è un mio diffetto ripetere continuamente questa congiunzione testuale.Mi rendo conto che qui questo mio difetto è emerso palesemene quindi chiedo scusa.
"Sergio":
\((X=2)\) può venire solo da (1,1), \((X=7)\) può venire da (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) o (6,1). Non ti viene il sospetto che sia \(P(X=7)>P(X=2)\)?
Con questo mi vuoi dire che la probabilità per i valori di X non è uniforme e che quindi X è una variabile aleatoria non uniforme?
Scusa la domanda stupida ma vorrei essere chiarito un concetto che in realtà non ho mai capito a lezione.Le variabili aleatorie non uniformi sono quelle variabili aleatorie che vengono definite continue o sto parlando di due tipi di variabile aleatorie diverse? Comunque a livello pratico ho capito come si risolve questo esercizio,cioè ho capito la logica che c'è dietro. Però non credo che calcolare manualmente tutte le probabilità dei valori che può assumere X sia il massimo.Penso che esistano formule generali per fare ciò e che io purtroppo ignoro.Quindi se esistono,ti chiedo se potessi rendermele note cosi che possa impararle.
"Sergio":
Forse ora capisco come mai una variabile discreta non uniforme ti mette in crisi
Ti ringrazio per avermi chiarito la logica dell'esercizio e avermi mostrato la formula generale che risolve questo esercizio.Ora però,ho vari dubbi concettuali da chiarire.Mi spiego meglio.Mi hai detto che esistono diversi tipi di variabili aleatorie quindi io ora mi chiedo: quante sono le tipologie di variabili aleatorie e come differenziarle? In soldoni, ho capito che una variabile aleatoria discreta è una variabile aleatoria che prende sempre valori finiti (anche molto grandi),mentre una variabile aleatoria continua prende valori finiti fino ad un certo punto (perchè poi ovviamente si protrae all'infinito). Il termine invece uniforme o non uniforme indica se gli eventi dell'esperimento hanno tutti la stessa probabilità o meno di uscita.Quindi tirando le somme,posso dire che esistono:
-variabili aleatorie discrete uniformi
-variabili aleatorie discrete non uniformi
-variabili aleatorie continue uniformi
-variabili aleatorie continue non uniformi
sta poi ovviamente a noi capire che tipo di variabile stiamo affrontando in un problema.Quindi l'ennesima mia domanda è: se questi sono tutti i tipi di variabili aleatorie che esistono,presumo che ci siano delle formule generali per ognuna per calcolare la funzione di densità di massa,valore attesso,ecc...Per caso sapresti indicarmi dove posso trovare una sorta di "formulario" che indichi le formule per calcolare le varie funzioni per ogni tipo di variabile aleatoria?
"Sergio":
Per v.a. continue si ha una densità di probabilità il cui integrale deve essere uguale a 1, ma la densità di alcuni suoi valori può essere maggiore di 1.
La densità di alcuni valori è maggiore di uno perchè noi non in tutti i valori delle v.a. continue possiamo definire la loro densità?
Ok,ho capito quello che abbiamo detto fin ora e quindi ora proverò a riassumere quello che abbiamo detto per vedere se i conceti mi sono chiari oppure no.Chiedo venia in caso scrivessi bagianate 
:
Abbiamo detto che c'è una netta differenza tra la funzione di probabilità per le variabili aleatorie discrete e la funzione di densità di massa nel caso di variabili aleatorie continue.Questo perchè la funzione di densità di massa nel caso di variabili aleatorie continue va a sostituire il concetto di funzione di probabilità che troviamo nelle variabili aleatorie discrete.Questo perchè essendo le variabili aleatorie continue,quindi non definite pienamente in un intervallo chiuso e limitato,è impossibile definire una funzione di probabilità per questo tipo di variabili in quanto la funzione di probabilità ha un range d'azione nell'intervallo [0,1].In pratica con questo abbiamo detto che la classica funzione di probabilità non può assegnare una probabilità definita a tutti i valori che assume la variabile aleatoria continua,in quanto sono troppi questi valori.A questo scopo subentra il concetto di densità di massa che non definisce una probabilità per ogni valore assunto dalla variabile aleatoria continua,ma assegna una probabilità generale.Inoltre io ero a conoscenza del fatto che c'è un forte legame tra la funzione di densità di massa e la funzione di ripartizione,in quanto la funzione di densità di massa non è altro che la derivata della funzione di ripartizione che a sua a volta è definita come l'integrale della funzione di densità.
:Abbiamo detto che c'è una netta differenza tra la funzione di probabilità per le variabili aleatorie discrete e la funzione di densità di massa nel caso di variabili aleatorie continue.Questo perchè la funzione di densità di massa nel caso di variabili aleatorie continue va a sostituire il concetto di funzione di probabilità che troviamo nelle variabili aleatorie discrete.Questo perchè essendo le variabili aleatorie continue,quindi non definite pienamente in un intervallo chiuso e limitato,è impossibile definire una funzione di probabilità per questo tipo di variabili in quanto la funzione di probabilità ha un range d'azione nell'intervallo [0,1].In pratica con questo abbiamo detto che la classica funzione di probabilità non può assegnare una probabilità definita a tutti i valori che assume la variabile aleatoria continua,in quanto sono troppi questi valori.A questo scopo subentra il concetto di densità di massa che non definisce una probabilità per ogni valore assunto dalla variabile aleatoria continua,ma assegna una probabilità generale.Inoltre io ero a conoscenza del fatto che c'è un forte legame tra la funzione di densità di massa e la funzione di ripartizione,in quanto la funzione di densità di massa non è altro che la derivata della funzione di ripartizione che a sua a volta è definita come l'integrale della funzione di densità.
"Sergio":
Direi che ci siamo. Quando andrai avanti imparerai modi più rigorosi di dire il tutto.
Comunque "funzione di densità di massa" non va bene: per le v.a. discrete hai una funzione di massa di probabilità (pmf), o anche semplicemente funzione di probabilità, che ti dà subito la probabilità di ciascun suo possibile valore; per le v.a. continue hai una funzione di densità di probabilità (pdf), che può darti una probabilità non nulla solo per intervalli di valori.
Ho capito.Mi è capitato a volte però di andare su wikipedia e di trovare che per variabili aleatorie discrete la funzione di probabilità o di massa di probabilità venga definita come funzione di densità....è un errore? (questo è un esempio http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_binomiale)
"Sergio":
Quello che importa ricordare è che la "densità" di una v.a. discreta è una probabilità, quindi sempre compresa tra 0 e 1, la densità di una v.a. continua è ciò che ti consente di calcolare la probabilità di un intervallo; la densità (di una v.a. continua) può anche essere maggiore di 1, ma la probabilità di un qualsiasi intervallo è sempre compresa tra 0 e 1.
In pratica per non complicarmi la vita ogni qual volta ricerco una variabile aleatoria discreta e leggo "funzione di densità" posso tranquillamente intendere questo termine come "funzione di probabilità".
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