Esercizio esame Probabilità 2
Buonasera a tutti,
scrivo questo nuovo argomento per problemi nella risoluzione in un esercizio di esame:
Sia $ C= ( ( 4 , a) , ( b , 1 ) ) $ con $ a, b $ $in$ $RR$
1) Determinare a e b in modo tale che C sia la matrice delle covarianze di un vettore gaussiano $ ( ( X ) , ( Y ) ) $ . Per quali valori di a e b $ ( ( X ) , ( Y ) ) $ ammette densità?
Per quanto riguarda questo punto le condizioni necessarie affinchè la matrice sia delle covarianze è che l'entrata della matrice (1,1) sia positiva e che il $detC >= 0 $,ne consegue che $ ab <= 4 $, perciò diciamo l'area all'interno dell'iperbole equilatera associata.
Prendiamo ora $ a = b = -1 $ e supponiamo che $ ( ( X ) , ( Y ) ) $ abbia vettore delle medie $ ( ( 0 ) , (-1 ) ) $.
2) Determinare $\lambda$ tale per cui le variabili $ 2X $ e $ Y + \lambda*X $ sono indipendenti.
Essendo le due variabili frutto di una trasformazione lineare di un vettore gaussiano, anche queste possono essere considerate un vettore gaussiano, perciò l'indipendenza fra componenti di un vettore gaussiano si traduce nella covarianza fra questi nulla, che porta a un risultato di $lambda$ pari a $1/4$.
3) Per il valore di $\lambda$ trovato al punto precedente calcolare $ P(Y + \lambda*X > 2) $
$ Y + \lambda*X $ è una dentità normale essendo X e Y anch'esse normali. Per calcolarne la probabilità normalizzo tale variabile e passo attraverso la $\phi$.
4) Determinare la speranza condizionata di X dato X - Y.
Utilizzo il fatto che la densità di una variabile condizionata ad un'altra è pari al quoziente fra la densita congiunta delle due e la densità della variabile che condiziona. Ottengo perciò che il valore della densità condizionata è quello di una densità normale di media $ 5/7 * (y-1) $ e varianza $ 3/7 $.
5) Dato $ Z ~ U $ $ \{ -1 , 0 , 1 }$ indipendente da $ ( ( X ) , ( Y ) ) $, calcolare la funzione caratteristica e la funzione di distribuzione cumulata di $ Z*(X-Y) $ . $ Z*(X-Y) $ ammette densità?
Questo punto è il più problematico, ho tentato di scrivere iil valore della funzione caratteristica $ E(e^(i * \theta *z * (x-y))) $ e di "spezzarlo" essendo le variabili indipendenti ma ottengo una densità che non riesco a ricondurre a nessuna delle notevoli.
Grazie per l'attenzione e mi scuso per la mancanza di un linguaggio sempre corretto.
Julpi
scrivo questo nuovo argomento per problemi nella risoluzione in un esercizio di esame:
Sia $ C= ( ( 4 , a) , ( b , 1 ) ) $ con $ a, b $ $in$ $RR$
1) Determinare a e b in modo tale che C sia la matrice delle covarianze di un vettore gaussiano $ ( ( X ) , ( Y ) ) $ . Per quali valori di a e b $ ( ( X ) , ( Y ) ) $ ammette densità?
Per quanto riguarda questo punto le condizioni necessarie affinchè la matrice sia delle covarianze è che l'entrata della matrice (1,1) sia positiva e che il $detC >= 0 $,ne consegue che $ ab <= 4 $, perciò diciamo l'area all'interno dell'iperbole equilatera associata.
Prendiamo ora $ a = b = -1 $ e supponiamo che $ ( ( X ) , ( Y ) ) $ abbia vettore delle medie $ ( ( 0 ) , (-1 ) ) $.
2) Determinare $\lambda$ tale per cui le variabili $ 2X $ e $ Y + \lambda*X $ sono indipendenti.
Essendo le due variabili frutto di una trasformazione lineare di un vettore gaussiano, anche queste possono essere considerate un vettore gaussiano, perciò l'indipendenza fra componenti di un vettore gaussiano si traduce nella covarianza fra questi nulla, che porta a un risultato di $lambda$ pari a $1/4$.
3) Per il valore di $\lambda$ trovato al punto precedente calcolare $ P(Y + \lambda*X > 2) $
$ Y + \lambda*X $ è una dentità normale essendo X e Y anch'esse normali. Per calcolarne la probabilità normalizzo tale variabile e passo attraverso la $\phi$.
4) Determinare la speranza condizionata di X dato X - Y.
Utilizzo il fatto che la densità di una variabile condizionata ad un'altra è pari al quoziente fra la densita congiunta delle due e la densità della variabile che condiziona. Ottengo perciò che il valore della densità condizionata è quello di una densità normale di media $ 5/7 * (y-1) $ e varianza $ 3/7 $.
5) Dato $ Z ~ U $ $ \{ -1 , 0 , 1 }$ indipendente da $ ( ( X ) , ( Y ) ) $, calcolare la funzione caratteristica e la funzione di distribuzione cumulata di $ Z*(X-Y) $ . $ Z*(X-Y) $ ammette densità?
Questo punto è il più problematico, ho tentato di scrivere iil valore della funzione caratteristica $ E(e^(i * \theta *z * (x-y))) $ e di "spezzarlo" essendo le variabili indipendenti ma ottengo una densità che non riesco a ricondurre a nessuna delle notevoli.
Grazie per l'attenzione e mi scuso per la mancanza di un linguaggio sempre corretto.
Julpi
Risposte
L'esercizio è lungo, articolato ed abbraccia diversi argomenti del programma; al momento non ho tempo di guardarlo con attenzione anche se mi sembra interessante.
Visto come parti
Evito di andare avanti a leggere il resto...
Se $Sigma= [ ( 4 , a ),( b , 1 ) ] $ deve essere una matrice di varianze e covarianze intanto deve essere $a=b$ ed inoltre deve valere $|cov(X,Y)|<=sigma_x sigma_Y$ quindi $Sigma= [ ( 4 , a ),( a , 1 ) ] $ con $|a|<=2$
non sei d'accordo? Tu invece dici $ab<=4$, ovvero anche $a != b$ ; di questo proprio non ne capisco il senso dato che
$Sigma= [ ( Var(X) , Cov(X,Y) ),( Cov(X,Y) , Var(Y)) ] $
Inoltre, sempre con la tua soluzione, potresti avere ad esempio $a=1$ e $b=4>sigma_X sigma_Y$
....e anche questo mi pare un grave errore....
Visto come parti
"Julpi":
Per quanto riguarda questo punto le condizioni necessarie affinchè la matrice sia delle covarianze è che l'entrata della matrice (1,1) sia positiva e che il $detC >= 0 $,ne consegue che $ ab <= 4 $, perciò diciamo l'area all'interno dell'iperbole equilatera associata.
Evito di andare avanti a leggere il resto...
Se $Sigma= [ ( 4 , a ),( b , 1 ) ] $ deve essere una matrice di varianze e covarianze intanto deve essere $a=b$ ed inoltre deve valere $|cov(X,Y)|<=sigma_x sigma_Y$ quindi $Sigma= [ ( 4 , a ),( a , 1 ) ] $ con $|a|<=2$
non sei d'accordo? Tu invece dici $ab<=4$, ovvero anche $a != b$ ; di questo proprio non ne capisco il senso dato che
$Sigma= [ ( Var(X) , Cov(X,Y) ),( Cov(X,Y) , Var(Y)) ] $
Inoltre, sempre con la tua soluzione, potresti avere ad esempio $a=1$ e $b=4>sigma_X sigma_Y$
....e anche questo mi pare un grave errore....
Si scusami, hai assolutamente ragione, ho tralasciato una parte dove affermavo che le uniche opzioni erano quelle in cui $ a = b $ dal momento in cui $ Cov ( X , Y ) = Cov ( Y , X ) $, una grave svista certamente al senso dell'intervento causata dal fatto che quella parte di esercizio non era la parte che mi creava difficoltà.
"Julpi":
Si scusami...(omissis)...quella parte di esercizio non era la parte che mi creava difficoltà.
beh...a saperlo evitavo di perdere del tempo prezioso (dato che sono in vacanza e senza libri al seguito....)
Se il punto problematico è questo
"Julpi":
5) Dato $ Z ~ U $ $ \{ -1 , 0 , 1 }$ indipendente da $ ( ( X ) , ( Y ) ) $, calcolare la funzione caratteristica e la funzione di distribuzione cumulata di $ Z*(X-Y) $ . $ Z*(X-Y) $ ammette densità?
Questo punto è il più problematico
e la variabile $Z$ è la seguente
$Z-={{: ( -1 , 0 , 1 ),( 1/3 , 1/3 , 1/3 ) :}$
ti dico già, senza fare conti, che la variabile $W=Z(X-Y)$ ammette densità mista, dato che concentra massa di probabilità positiva pari a $1/3$ in $W=0$.
$f_(W)(w)-={{: ( 1/3 , ;w=0 ),( 2/3 f_(X-Y)(w) , ;w !=0 ) :}$
e ciò in quanto, per le proprietà di simmetria della normale, $f(w)=f(-w)$
Ora, avendo la densità, il resto delle richieste mi sembra del tutto fattibile.
Spero di esserti stato utile
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