Esercizio: donna con n chiavi...

[kotek]

Salve a tutti,
ho un esercizio che mi crea dei dubbi ed è il seguente:
"Una donna ha un mazzo con n chiavi, una delle quali apre la sua porta. se le prova a caso scartando quelle che non aprono, qual è la probabilità che trovi la chiave giusta al k-esimo tentativo? E se non scartasse le chiavi già provate?"

Io avevo pensato così:

a) se scarta le chiavi al k-esimo tentativo avrà una possibilità di 1/(n-k+1)

Perché se io ho 10 chiavi, al primo tentativo ho una possibilità di 1/10, al secondo (scartando la chiave) 1/(n-1)...al k-esimo 1/(n-k+1)

b) se non le scarto, ogni volta avrò sempre la possibilità di 1/n.

Però sul libro mi da risultati diversi:

a) Mi dice 1/n

b) Mi dice:
$ 1/n((n-1)/n)^(k-1) $

E non capisco perché...

[kotek]

Non riesco ancora a capire...cioè se io ho 10 chiavi e ad ogni tentativo scarto la chiave che non funziona, al 10° tentativo come faccio ad avere ancora una possibilità di 1/10 di indovinare?non ha senso...

[kotek]

Scusa la mia ignoranza, ma non capisco: perché devo moltiplicare la probabilità di sbagliare con quella di indovinare?

[kotek]

oook grazie mille per la chiarezza e il tempo che mi hai dedicato
Grazie ancora

[retrocomputer]

"Sergio":
La probabilità composta è quindi \(P(3)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\).
Come vedi, ottieni sempre \(1/n\).

Scrivendo il tuo procedimento per il caso n-esimo, ho osservato un'altra possibile chiave di lettura per il problema:

supponiamo di vedere la prova delle chiavi (con successivo scarto) come una sequenza ordinata di chiavi, dove al primo posto c'è la prima chiave provata, al secondo posto la seconda provata, eccetera. Il numero di permutazioni delle \(n\) chiavi è \(n!\), mentre il numero di permutazioni di \(n-1\) chiavi tenendone fissa una, per esempio la k-esima (che indica il fatto che la k-esima è quella buona) è \((n-1)!\).
Essendo \(n!\) i casi possibili e \((n-1)!\) i casi favorevoli, il risultato cercato dovrebbe essere
\(\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}\)
Torna?

Ah, credo che questo sia il mio primo messaggio sul forum e ne approfitto per salutare tutti i frequentatori.