Esercizio distribuzioni esponenziali
Salve e buona vigilia a tutti
Mi sono imbattuto in questo esercizio che purtroppo non ha soluzioni
Federica telefona a un call center, aspetta un tempo $T1$ e quando rispon-
de il primo operatore viene passata immediatamente ad un secondo
operatore per il quale aspetta un tempo $T2$ che risponda. $T1$ e $T2$ sono
v.a. indipendenti, entrambe con densità esponenziale di parametro $1/5$.
(a) qual è la densità di probabilità del tempo totale di attesa, che
indichiamo con $T$? Quanto vale $P(T>= 8)$?
(b) 100 clienti indipendenti ripetono la stessa sequenza di Federica.
Sia S100 la v.a. che indica il numero di clienti che ha aspettato pi
di 8 minuti. Calcolare la probabilità che siano almeno $45$(è sufficiente impostare). E se invece facessi una stima?
a) Se non erro questo esercizio può essere risolto tramite la convoluzione.Per semplicità uso X,Y
$T=X+Y$ grazie all'indipendenza
$F_T(t)=P(T<=t)=P(X+Y<=t)=\int_{-infty}^{infty}\int_{-infty}^{t-x}f(t)f(y)dydx=\int_{-infty}^{infty}f(x)F_Y(z-x)dx$
appunto quello che dicevo
le distribuzioni sono identiche quindi caso in cui i parametri delle esponenziali sono uguali
$f(t)=\int_{-infty}^{t} lambda e^-(lambda(t-x))lambdae^-(lambdax)dx=lamda^2te^-(lambdat)$
ovvero $Gamma(2,lambda)$
quindi dopo questo ripasso teorico posso dire che il mio $T$ segue una $Gamma(2,1/5)$ e io devo trovare
$P(T<=8)=\int_{0}^{8}1/(Gamma(2))2^(1/5)e^(-t/5)tdt$ ma il risultato è maggiore di uno
i punti a seguire uno si fa con la binomiale parametri $n=100$ e $alpha=p$ dove $p$ è il risultato dell'integrale
l'altro tramite TLC ma ovviamente senza risolvere questo non riesco ad andare avanti
grazie in anticipo
Mi sono imbattuto in questo esercizio che purtroppo non ha soluzioni
Federica telefona a un call center, aspetta un tempo $T1$ e quando rispon-
de il primo operatore viene passata immediatamente ad un secondo
operatore per il quale aspetta un tempo $T2$ che risponda. $T1$ e $T2$ sono
v.a. indipendenti, entrambe con densità esponenziale di parametro $1/5$.
(a) qual è la densità di probabilità del tempo totale di attesa, che
indichiamo con $T$? Quanto vale $P(T>= 8)$?
(b) 100 clienti indipendenti ripetono la stessa sequenza di Federica.
Sia S100 la v.a. che indica il numero di clienti che ha aspettato pi
di 8 minuti. Calcolare la probabilità che siano almeno $45$(è sufficiente impostare). E se invece facessi una stima?
a) Se non erro questo esercizio può essere risolto tramite la convoluzione.Per semplicità uso X,Y
$T=X+Y$ grazie all'indipendenza
$F_T(t)=P(T<=t)=P(X+Y<=t)=\int_{-infty}^{infty}\int_{-infty}^{t-x}f(t)f(y)dydx=\int_{-infty}^{infty}f(x)F_Y(z-x)dx$
appunto quello che dicevo
le distribuzioni sono identiche quindi caso in cui i parametri delle esponenziali sono uguali
$f(t)=\int_{-infty}^{t} lambda e^-(lambda(t-x))lambdae^-(lambdax)dx=lamda^2te^-(lambdat)$
ovvero $Gamma(2,lambda)$
quindi dopo questo ripasso teorico posso dire che il mio $T$ segue una $Gamma(2,1/5)$ e io devo trovare
$P(T<=8)=\int_{0}^{8}1/(Gamma(2))2^(1/5)e^(-t/5)tdt$ ma il risultato è maggiore di uno
i punti a seguire uno si fa con la binomiale parametri $n=100$ e $alpha=p$ dove $p$ è il risultato dell'integrale
l'altro tramite TLC ma ovviamente senza risolvere questo non riesco ad andare avanti
grazie in anticipo
Risposte
La densità gamma che hai scritto è sbagliata
$P(T>8)=1/25 int_8^(oo)t e ^(-t/5)dt$
L'integrale si risolve per parti oppure con le tavole della chi quadro
$P(T>8)=1/25 int_8^(oo)t e ^(-t/5)dt$
L'integrale si risolve per parti oppure con le tavole della chi quadro
Ciao Tommik.. e grazie della risposta..
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