Esercizio distribuzione normale con approssimazione
Il tempo di un atleta, $T$, (in secondi) sui cento metri è una v.a. $T ∼ N(11.2,0.1)$. Ogni volta che l’atleta riesce a scendere sotto gli $11$ secondi, vince un premio di $500€$. Nel corso del prossimo anno dovrà disputare $35$ gare, che si svolgono tutte indipendentemente le une dalle altre (sono per esempio a sufficienti giorni di distanza per recuperare ed allenarsi).
$i)$ Calcolare la probabilità che l’atleta faccia un tempo inferiore a $11$ secondi.
$ii)$ Calcolare approssimativamente la probabilità che nel corso dell’anno ottenga premi per almeno $8000€$.
Risoluzione:
$i)$ $P(T<11)=P(N(0;1)<(11-11.2)/sqrt0.1)=1- \phi (0.63)=0.2643$ $~ 0.26$
$ii)$ Introduco una nuova variabile aleatoria $W~B(35;0.26)$
Poichè $np=9.1>5$ e $np(1-p)=6.7>5$ possiamo utilizzare il teorema del limite centrale per approssimare la successione di $35$ v.a. Bernoulliane con una Gaussiana standard $N(0;1)$.
Tuttavia, poichè stiamo approssimando una distribuzione discreta con una continua, bisogna effettuare una correzione per continuità.
Quindi:
$P(W>=15.5)=P(W>=(15.5-9.1)/sqrt6.7)=1- \phi(2.47)=0.0068$ $~ 0.68%$
E' corretto? Il ragionamento che ho seguito mi sembra giusto ma quel risultato finale, non so perchè, non mi convince molto $(0.68%)$
$i)$ Calcolare la probabilità che l’atleta faccia un tempo inferiore a $11$ secondi.
$ii)$ Calcolare approssimativamente la probabilità che nel corso dell’anno ottenga premi per almeno $8000€$.
Risoluzione:
$i)$ $P(T<11)=P(N(0;1)<(11-11.2)/sqrt0.1)=1- \phi (0.63)=0.2643$ $~ 0.26$
$ii)$ Introduco una nuova variabile aleatoria $W~B(35;0.26)$
Poichè $np=9.1>5$ e $np(1-p)=6.7>5$ possiamo utilizzare il teorema del limite centrale per approssimare la successione di $35$ v.a. Bernoulliane con una Gaussiana standard $N(0;1)$.
Tuttavia, poichè stiamo approssimando una distribuzione discreta con una continua, bisogna effettuare una correzione per continuità.
Quindi:
$P(W>=15.5)=P(W>=(15.5-9.1)/sqrt6.7)=1- \phi(2.47)=0.0068$ $~ 0.68%$
E' corretto? Il ragionamento che ho seguito mi sembra giusto ma quel risultato finale, non so perchè, non mi convince molto $(0.68%)$
Risposte
Tutto ok. Essendo un'approssimazione diciamo che è $~~1%$
Tieni presente che il valore esatto calcolato con la binomiale verrebbe $0.92%$
Inoltre ti ricordo che la regola $np>=5$ non è un teorema ma solo una regola empirica. Quindi si può approssimare la binomiale anche se $np=4$... Se è molto più basso è meglio cercare altre strade perché l'approssimazione risulterà poco precisa
Tieni presente che il valore esatto calcolato con la binomiale verrebbe $0.92%$
Inoltre ti ricordo che la regola $np>=5$ non è un teorema ma solo una regola empirica. Quindi si può approssimare la binomiale anche se $np=4$... Se è molto più basso è meglio cercare altre strade perché l'approssimazione risulterà poco precisa
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