Esercizio distribuzione geometrica
ciao a tutti. ho il seguente esercizio:
per il punto a) pensavo di fare così:
indico con X la variabile che conta il numero di prove per ottenere il primo successo, compreso. dunque $X ~ G'(p)$ è geometrica traslata che per evitare fraintendimenti per me è quella con legge $P(X=k)=p(1-p)^(k-1)$. ora credevo che la condizione si traducesse in $P(X=3 | X>1)=(P(X=3,X>1))/(P(X>1))=(P(X=3))/(P(X>1))=25/216$ che però è sbagliato.
qual è stato il ragionamento errato?
per la parte b) sono invece bloccato, qualche dritta?
si lancia ripetutamente un dado equilibrato, fino al momento in cui si ottiene 6 per la prima volta.
a) qual è la probabilità che il 6 esca per la prima volta al terzo lancio, sapendo che non è uscito al primo lancio?
b) qual è la probabilità che il 6 esca per la prima volta al secondo lancio, sapendo che il primo 6 esce dopo un numero pari di lanci?
per il punto a) pensavo di fare così:
indico con X la variabile che conta il numero di prove per ottenere il primo successo, compreso. dunque $X ~ G'(p)$ è geometrica traslata che per evitare fraintendimenti per me è quella con legge $P(X=k)=p(1-p)^(k-1)$. ora credevo che la condizione si traducesse in $P(X=3 | X>1)=(P(X=3,X>1))/(P(X>1))=(P(X=3))/(P(X>1))=25/216$ che però è sbagliato.
qual è stato il ragionamento errato?
per la parte b) sono invece bloccato, qualche dritta?
Risposte
Punto a)
La formula applicata è giustissima.
$P(X=3|X>1)=(P(X=3))/(P(X>1))=((5/6)^2(1/6))/(1-1/6)=5/36$
Come faccia a venirti $25/216$ gradirei che me lo spiegassi.....
Ma molto più semplicemente, senza fare alcun volo pindarico.....se sappiamo già che al primo lancio non è uscito, la probabilità che il 6 esca al terzo lancio significa che non esce al secondo ed esce al terzo: $5/6*1/6=5/36$
Questa proprietà, che dovresti conoscere, si chiama proprietà di Assenza di Memoria.
Punto b)
per lo stesso motivo, la probabilità che il 6 esca nei lanci dispari è zero e dunque la probabilità che esca al secondo lancio è esattamente $1/6$
in pratica è sempre la stessa distribuzione iniziale ma col dominio modificato; $S_Y=2,4,6,8,....$ invece di $S_X=1,2,3,4,...$
chiaro?
La formula applicata è giustissima.
$P(X=3|X>1)=(P(X=3))/(P(X>1))=((5/6)^2(1/6))/(1-1/6)=5/36$
Come faccia a venirti $25/216$ gradirei che me lo spiegassi.....
Ma molto più semplicemente, senza fare alcun volo pindarico.....se sappiamo già che al primo lancio non è uscito, la probabilità che il 6 esca al terzo lancio significa che non esce al secondo ed esce al terzo: $5/6*1/6=5/36$
Questa proprietà, che dovresti conoscere, si chiama proprietà di Assenza di Memoria.
Punto b)
per lo stesso motivo, la probabilità che il 6 esca nei lanci dispari è zero e dunque la probabilità che esca al secondo lancio è esattamente $1/6$
Esempio : qual è la probabilità che il 6 esca al 4° lancio, sapendo che esce solo nei lanci pari?
non esce al primo lancio: $1$
non esce al secondo lancio: $5/6$
non esce al terzo lancio: $1$
esce al quarto lancio: $1/6$
totale: $1xx5/6xx1xx1/6=5/36$
in pratica è sempre la stessa distribuzione iniziale ma col dominio modificato; $S_Y=2,4,6,8,....$ invece di $S_X=1,2,3,4,...$
chiaro?
"tommik":
Come faccia a venirti 25216 gradirei che me lo spiegassi.....
perchè sono fesso: ho considerato $P(X>k)=(1-p)^(k-1)$ anzichè $(1-p)^k$
"tommik":
Questa proprietà, che dovresti conoscere, si chiama proprietà di Assenza di Memoria.
la conosco ma non avendola mai applicata non mi era nemmeno venuta in mente anche perchè la conosco nell formula $P(X>n+k|X>n)=P(X>n)$. non essendoci l'uguale non saprei come applicarla.
punto b e l'esempio chiari!
grazie
ops.... 
confermo la soluzione del punto a) ma ho ripensato alla soluzione del punto b)
Utilizzando la definzione di probabilità condizionata otteniamo
$P(X=2|"X pari")=(P(X=2,"X pari"))/(P("X pari"))=(P(X=2))/(P("X pari"))=(5/6*1/6)/(5/11)=11/36$
per calcolare
$P("X pari")=1/6sum_(x=2,4,6,...)(5/6)^(x-1)=1/6[5/6+(5/6)^3+(5/6)^5+....]=$
$5/36[1+25/36+(25/36)^2+(25/36)^3+....]=$
$=5/36 1/(1-25/36)=5/11$
confermo la soluzione del punto a) ma ho ripensato alla soluzione del punto b)
Utilizzando la definzione di probabilità condizionata otteniamo
$P(X=2|"X pari")=(P(X=2,"X pari"))/(P("X pari"))=(P(X=2))/(P("X pari"))=(5/6*1/6)/(5/11)=11/36$
per calcolare
$P("X pari")=1/6sum_(x=2,4,6,...)(5/6)^(x-1)=1/6[5/6+(5/6)^3+(5/6)^5+....]=$
$5/36[1+25/36+(25/36)^2+(25/36)^3+....]=$
$=5/36 1/(1-25/36)=5/11$
grazie anche per la correzione.
perchè però il ragionamento di prima era sbagliato? non sembrava sul momento.
perchè però il ragionamento di prima era sbagliato? non sembrava sul momento.
Se ho scritto la soluzione è perché ne ero convinto! ma poi ho osservato che
$P(X=2|X>1)=1/6$
e non può essere uguale alla probabilità condizionta all'evento "il 6 non esce in alcun lancio dispari" ma dovrà essere certamente minore, circa la metà...
allora ho applicato la definizione....
$P(X=2|X>1)=1/6$
e non può essere uguale alla probabilità condizionta all'evento "il 6 non esce in alcun lancio dispari" ma dovrà essere certamente minore, circa la metà...
allora ho applicato la definizione....
ok. devo stare più attento a queste cose.
grazie ancora per l'aiuto
grazie ancora per l'aiuto
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