Esercizio distribuzione esponenziale
Gli intervalli di tempo tra le telefonate seguono una distribuzione esponenziale di media $1/\lambda$ e sono indipendenti tra loro.
a) Probabilità che la seconda telefonata arrivi prima del tempo $2/\lambda$.
b) Siano $T_1$ e $T_2$ i tempi d'arrivo delle prime due telefonate. Trova la pdf congiunta di $T_1$ e $T_2$.
c) Densità di probabilità di $T_1$ condizionata a $T_2=t$. Trova quindi la probabilità che la prima sia giunta dopo il tempo $t/2$, sapendo che la seconda è arrivata al tempo $t$.
Per a) ho provato a dire che che il tempo d'arrivo della seconda è un'esponenziale di media $2/\lambda$.
Per b) e c) vuoto totale. Mi serve un input.
grazie
a) Probabilità che la seconda telefonata arrivi prima del tempo $2/\lambda$.
b) Siano $T_1$ e $T_2$ i tempi d'arrivo delle prime due telefonate. Trova la pdf congiunta di $T_1$ e $T_2$.
c) Densità di probabilità di $T_1$ condizionata a $T_2=t$. Trova quindi la probabilità che la prima sia giunta dopo il tempo $t/2$, sapendo che la seconda è arrivata al tempo $t$.
Per a) ho provato a dire che che il tempo d'arrivo della seconda è un'esponenziale di media $2/\lambda$.
Per b) e c) vuoto totale. Mi serve un input.
grazie
Risposte
Dato che sei un utente esperto penso basti poco per indirizzarti sulla giusta strada (non ho provato a risolverlo ma a prima vista non vedo particolari problemi)
I tempi di arrivo di tutte le telefonate sono indipendenti e tutti si distribuiscono esponenzialmente con media $1/lambda$:
a) $f_X=lambda e^(-lambdax)$
Se però devi calcolare la probabilità che la n-esima telefonata arrivi prima (o dopo) un certo tempo t, devi calcolare la somma dei tempi di arrivo di tutte le precedenti telefonate; quindi per l'indipendenza hai che
$Y=sum_i X_i~Gamma(n;lambda)$
Per risolvere calcoli pratici si può trasformare così:
$2lambdaY~chi_((2n))^2$ e, conoscendo $lambda$, puoi usare le tavole della chi-quadro. Se invece $lambda$ è ignoto occorre risolvere l'integrale della Gamma che però nel tuo caso è davvero facile essendo
$f_Y=lambda^2 y e^(-lambday)$
b) data l'indipendenza dei tempi di arrivo la congiunta è il prodotto delle marginali: $f_(X_(1) X_(2))=f_(X_1) * f_(X_2)$
c) è una normale probabiltà condizionata e, dato che le distribzuioni in esame sono esponenziali indipendenti di cui conosci
1) CDF: $P(X<=x)=1-e^(-lambdax)$ e
2) funzione di sopravvivenza: $P(X>x)=e^(-lambdax)$
... non vedo particolari problemi
I tempi di arrivo di tutte le telefonate sono indipendenti e tutti si distribuiscono esponenzialmente con media $1/lambda$:
a) $f_X=lambda e^(-lambdax)$
Se però devi calcolare la probabilità che la n-esima telefonata arrivi prima (o dopo) un certo tempo t, devi calcolare la somma dei tempi di arrivo di tutte le precedenti telefonate; quindi per l'indipendenza hai che
$Y=sum_i X_i~Gamma(n;lambda)$
Per risolvere calcoli pratici si può trasformare così:
$2lambdaY~chi_((2n))^2$ e, conoscendo $lambda$, puoi usare le tavole della chi-quadro. Se invece $lambda$ è ignoto occorre risolvere l'integrale della Gamma che però nel tuo caso è davvero facile essendo
$f_Y=lambda^2 y e^(-lambday)$
b) data l'indipendenza dei tempi di arrivo la congiunta è il prodotto delle marginali: $f_(X_(1) X_(2))=f_(X_1) * f_(X_2)$
c) è una normale probabiltà condizionata e, dato che le distribzuioni in esame sono esponenziali indipendenti di cui conosci
1) CDF: $P(X<=x)=1-e^(-lambdax)$ e
2) funzione di sopravvivenza: $P(X>x)=e^(-lambdax)$
... non vedo particolari problemi
Grazie tommik.
Il punto a) mi è venuto.
Il punto b) bastava quindi dire che $f_(T_1T_2)(t_1,t_2)=\lambda^2*e^{-\lambda*(t_1+t_2)}$
Il c) mi dava problemi perchè essendo sul continuo, non sapevo come esprimere $Prob(T_2=t)$
Credo che una scrittura del genere non abbia senso: $Prob(T_1=x|T_2=t)=frac{Prob(T_1=x "and" T_2=t)}{Prob(T_2=t)}$
Il punto a) mi è venuto.
Il punto b) bastava quindi dire che $f_(T_1T_2)(t_1,t_2)=\lambda^2*e^{-\lambda*(t_1+t_2)}$
Il c) mi dava problemi perchè essendo sul continuo, non sapevo come esprimere $Prob(T_2=t)$
Credo che una scrittura del genere non abbia senso: $Prob(T_1=x|T_2=t)=frac{Prob(T_1=x "and" T_2=t)}{Prob(T_2=t)}$
No, non ha senso per il fatto che le distribuzioni sono continue e quindi non concentrano massa di probabilità in un punto. Del resto l'esercizio (come troppo spesso accade) è scritto male.....si intende (come sempre) che la seconda telefonata sia arrivata prima del tempo t
$[F_x(t)-F_X(t/2)]/(F_X (t))=(e^(-lambda t/2)-e^(-lambdat))/(1-e^(-lambdat))$
così ti torna?
$[F_x(t)-F_X(t/2)]/(F_X (t))=(e^(-lambda t/2)-e^(-lambdat))/(1-e^(-lambdat))$
così ti torna?
Ok, grazie. Adesso mi torna 
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