Esercizio di PROBABILITA' ( quasi finito !)

[Giova411]

Maremma sguelferata! Trovo miliardi di esercizi che non so fare anche se dovrei riuscirci dopo tutto lo studio...
Questo come si fa? Raga aiutatemi voi perché non ho né lo svolgimento, né i risultati.
Grazie

[Giova411]

Domanda finale 1)

"Giova411":$F_Z(z)=P[Z
Da qui come si fa ad andare avanti con questa notazione?
Il risultato l'avevo ottenuto geometricamente (grazie ad un esempio di Codino75) ma se volessi proseguire da qui:
$P(-z+X<=Y<=z+X) = ...$ Oh, le ho provate tutte ma non arrivo al risultato aspettato ($2z-z^2$)

Domanda finale 2)
Per l'indipendenza credo di aver capito tutto (finalmente!) tranne che un'ultimissima cosetta.


$F_z(1/2) * F_w(1/2) = $?$= "Area_1" + "Area_2"$

$3/4*3/4 =$?$= (int_0^(1/2) int _(x-1/2)^(x) ("desita di cosa?") dy *dx )+ (int_0^(1/2) int _(y)^(y-1/2) ("densità di cosa?") dx *dy )$

Ho pensato alla densità calcolata con la uniforme $1/(1-0)=1$ ma ho dei dubbi. (Strano perché non ne ho mai .... Stendiamo un velo pietoso .... )

Se così fosse si avrebbe:
$9/16="?"= 1/4-1/4$ NO, Z e W non sono indipendenti.

[Piera4]

1) Non l'hai specificato, credo che x e y siano indipendenti e uniformi in (0,1). Avendo entrambe le variabili densità pari a 1 si ha
densità congiunta $f(x,y)=f(x)f(y)=1*1=1$ $0 Calcoliamoci $P(-z+X<=Y<=z+X)$.
Avrai visto che le due rette formano con il quadrato un esagono. Visto che integrare sull'esagono è un po' laborioso, si può ragionare come segue:
$P(-z+X<=Y<=z+X)=P(Y<=z+X)-P(Y<=-z+X)=1-P(Y>z+X)-P(Y<=-z+X)$. (*)

Facendo il disegno si vede che $P(Y>z+X)$ si ottiene integrando sul triangolo rettangolo in alto a sinistra:
$P(Y>z+X)=int_0^(1-z)int_(x+z)^1 1dydx=1-z-(1-z)^2/2-z+z^2$.

La $P(Y<=-z+X)$ la ottieni invece sul triangolo rettangolo in basso a destra:
$P(Y<=-z+X)=int_z^1int_0^(x-z)1 dydx=1/2-z^2/2-z+z^2$.
Sostituendo i valori trovati nella (*) si ottiene finalmente
$P(-z+X<=Y<=z+X)=2z-z^2$.

2) Prima di rispondere alla tua domanda ti dico un'altra cosa.
Per trovare $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)$ siamo ricorsi alla probabilità condizionata, facendo un bel po' di passaggi. Se guardi bene, abbiamo considerato il caso YX. Senza fare tutti quei passaggi (te li ho fatti pensando che potesse essere più chiaro ma adesso non ne sono più tanto convinto), puoi subito affrontare i due casi YX come segue.
$P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)=P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,YX)$,
in pratica devi spezzare la probabilità in due mettendo una volta YX.
Ora $P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2,YX)=P(X<1/2,Y-X<1/2, Y>X)$.
Pertanto, senza fare tutti quei passaggi, siamo già arrivati a
$P(min(X,Y)<1/2,|X-Y|<1/2)=P(Y<1/2,X-Y<1/2,YX)$.
Adesso, rispondiamo alle tue domande.
Si, la densità è 1.
Hai però sbagliato a calcolare le aree.
Se guardi bene il tuo disegno, l'area gialla ha le seguenti limitazioni: $0 Nell'altra area le limitazioni sono $0
$9/16 ne 1/2 =>$ le variabili non sono indipendenti.

[Giova411]

Non ho parole per ringraziarti l'n-esima volta + 1!