Esercizio di PROBABILITA' ( quasi finito !)

[Giova411]

Maremma sguelferata! Trovo miliardi di esercizi che non so fare anche se dovrei riuscirci dopo tutto lo studio...
Questo come si fa? Raga aiutatemi voi perché non ho né lo svolgimento, né i risultati.
Grazie

[_luca.barletta]

sì, legge uniforme

[Giova411]

Aspetta che forse ho capito come trovare $Z$.. Ma prima c'é il primo Lucone bello mio come fai non so!
La legge uniforme intesa come distribuzione non densità:
$(z-0)/(1-0)$ giusto? quindi $z$.

[_luca.barletta]

E' $F_X(x)=x$ e $F_Y(y)=y$, quindi
$F_W(w)=1-(1-w)(1-w)=1-(1-w)^2=2w-w^2$

[Giova411]

"luca.barletta":il secondo praticamente è quello delle formiche;
$F_Z(z)=P[Z

$F_Z(z)=P[Z Quindi è un quadratino di lato $1$ con coordinate $(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)$
Quindi come in quello delle formiche delle formiche ho 2 rette che passano nel quadrato e voglio sapere l'area interna a queste 2 rette.

[_luca.barletta]

sì, più o meno è così, a parte la z che diventa misteriosamente t

[Giova411]

"luca.barletta":E' $F_X(x)=x$ e $F_Y(y)=y$, quindi
$F_W(w)=1-(1-w)(1-w)=1-(1-w)^2=2w-w^2$

Ma dove hai applicato l'uniforme? Sai che non mi è proprio chiaro? $x " e " y$ spariscono?

Forse ho trovato $F_z=1-(1-t)^2$ perché ho fatto il disegnino con i triangolini nel quadrato e le rette $y=x-t$, $y=t+x$ e compagnia bella

[Giova411]

"luca.barletta":sì, più o meno è così, a parte la z che diventa misteriosamente t

Ho quello delle formiche... Mi hai detto tu di prenderlo... Poi la fretta di scrivere tutto per non farti aspettare...

[_luca.barletta]

"Giova411":[quote="luca.barletta"]E' $F_X(x)=x$ e $F_Y(y)=y$, quindi
$F_W(w)=1-(1-w)(1-w)=1-(1-w)^2=2w-w^2$

Ma dove hai applicato l'uniforme? Sai che non mi è proprio chiaro? $x " e " y$ spariscono?

Forse ho trovato $F_z=1-(1-t)^2$ perché ho fatto il disegnino con i triangolini nel quadrato e le rette $y=x-t$, $y=t+x$ e compagnia bella[/quote]

troviamo innanzitutto che $F_X(x)=int_0^x f_X(t)dt=int_0^x 1dt=x$, stessa cosa per Y. Poi nella formula avevamo $F_X(w)=w$ e $F_Y(w)=w$

[Giova411]

"luca.barletta":troviamo innanzitutto che $F_X(x)=int_0^x f_X(t)dt=int_0^x 1dt=x$, stessa cosa per Y. Poi nella formula avevamo $F_X(w)=w$ e $F_Y(w)=w$

Ok la prima parte fino a $F_X(x)=int_0^x f_X(t)dt=int_0^x 1dt=x$, (mi manca poco) la formula alla quale ti - mi riferisci/o è questa? $(x-a)/(b-a) " con " a Scusami, è in base alla legge uniforme che porto quelle cavolo di letterine tutte == alla w?

[_luca.barletta]

la formula è proprio quella. Rileggi come siamo arrivati alla w.

[Giova411]

$(z-0)/(1-0) = z$ devo leggere anche questo mio POST per caso? Con w al posto di z? Pensavo di aver scritto una merdinetta...

Alla fine Z con le formiche l'ho trovata giusta secondo il tuo immenso sapere? Mio caro PROF!

Così ho le distribuzioni e basta (come Codino mi ha detto e ridetto 15 o 16 volte!) ma in questo caso mi servono solo queste e non le densità. O no? Ma poi chiede di verificare la dipendenza delle nuove W e Z trovate. Che si fa? Mi butto dal balcone?

[Giova411]

Ok, mio grandissimo insegnante cercherò di ricostuire il tutto e domani cercherò di dimostrare la loro dip o indip.

Ricordiamoci: VIVA IL CONVOLUTORE! CI SALVERA' + o - TUTTI

[Giova411]

"luca.barletta":troviamo innanzitutto che $F_X(x)=int_0^x f_X(t)dt=int_0^x 1dt=x$, stessa cosa per Y. Poi nella formula avevamo $F_X(w)=w$ e $F_Y(w)=w$

Capita questa parte! Che distrattone che sono! Capito perché alla fine ottengo il polinomio tutto in $w$.
Ancora devo capire dove, all'inizio, applichiamo la legge uniforme.
Cioé quale devo prendere? Perché sembra che vadano bene sia questa della densità $(1)/(b-a)$ che quella della distribuzione $(x-a)/(b-a)$. Concettualmente qual é quella da considerare in questo caso? A prima battuta direi quella della distribuzione che mi dà già l'integrale bello e fatto.

[Giova411]

Capita tutta la prima parte (GRAZIE). Anche se la partenza non tanto. Perché si parte con $1-F_W(w) = ... $ il resto OK

"luca.barletta":Prova a ragionare su $1-F_W(w)=1-P[Ww]=P[min{X,Y}>w]...$

Per verificare che $W$ e $Z$ sono indipendenti devo controllare se:

$F(w,z) = F_1 (w) * F_2 (z)$

$F_1 (w) * F_2 (z)$ le abbiamo trovate (beh , diciamo che le ha trovate Luca)

Come faccio a trovare $F(w,z) $ con i dati che ho? Non ho un densità congiunta sulla quale fare l'integrale doppio così come sono abituato a fare.


L'altro modo di verificare l'eventuale indipendenza, usando le densità:
$f(w,z) = f_1 (w) * f_2 (z)$
Così le densità marginali le posso trovare derivando le distrib trovate. Ma c'é sempre di mezzo la densità congiunta a sx dell'uguaglianza che non so trovare.


Aiutino PLEASE

[Piera4]

Non ho visto o fatto calcoli.
Secondo me non sono indipendenti.
Infatti ciascuna variabile aleatoria dipende da $x$ e da $y$...

[Giova411]

Ciao PIE' !!!!!! Quanto tempo!!!!

I calcoli sono giusti perché me li ha spiegati per bene Luca e finalmente li ho capiti.

Solo una cosa: per dimostrare che sono dipendenti devo fare ciò che ho scritto nel Post sopra il tuo (con $!=$ anziché $=$)
Le distr marginali sono: $W=2w-w^2$ e $Z=1-(1-z)^2$.

Ora come mi muovo con queste? Posso trovare le densità marginali derivando. OK. Ma mi serve o la distribuzione congiunta o la densità congiunta. Giusto? Se si, con 2 paroline, mi dici come ci arrivo alle congiunte?

[Piera4]

Scusa per il ritardo ma sono rientrato da poco.
Allora, se fossero indipendenti deve valere l'uguaglianza:
$P(W<=t)P(Z<=a)=P(W<=t,Z<=a)$.
Ora, data che sono quasi sicuro che non lo sono, devi far vedere che ad esempio per $t=a=1/2$ non è verificata l'uguaglianza sopracitata.
Calcola:
$P(W<=1/2)$
$P(Z<=1/2)$
questo è facile.
Per calcolare $P(W<=1/2,Z<=1/2)$ puoi ricorrere alla probabilità condizionata:
$P(min(X,Y)<=1/2,|X-Y|<=1/2)=P(min(X,Y)<=1/2,|X-Y|<=1/2|YX)P(Y>X)$.
Ora, se $Y e analogamente per $Y>X$.
Pertanto
$P(min(X,Y)<=1/2,|X-Y|<=1/2|YX)P(Y>X)=$
$=P(Y<=1/2,X-Y<=1/2|YX)P(Y>X)=$
$=(P(Y<=1/2,X-Y<=1/2,YX))/(P(Y>X))P(Y>X)=$
$P(Y<=1/2,X-Y<=1/2,YX)$.
Adesso ti rimane da calcolare le ultime due probabilità.
Per la prima devi calcolare all'interno del quadrato di lato unitario l'area delimitata dalle rette (o meglio dai semipiani) $Y<=1/2,X-Y<=1/2,Y Ovviamente, se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure.

[Giova411]

"Piera":Scusa per il ritardo ma sono rientrato da poco.
Allora, se fossero indipendenti deve valere l'uguaglianza:
$P(W<=t)P(Z<=a)=P(W<=t,Z<=a)$.
Ora, data che sono quasi sicuro che non lo sono, devi far vedere che ad esempio per $t=a=1/2$ non è verificata l'uguaglianza sopracitata.
Calcola:
$P(W<=1/2)$
$P(Z<=1/2)$
questo è facile.

Fin qui OK! Capito pure il discorso generale per dimostrare la loro dipendenza

"Piera":
Per calcolare $P(W<=1/2,Z<=1/2)$ puoi ricorrere alla probabilità condizionata:
$P(min(X,Y)<=1/2,|X-Y|<=1/2)=P(min(X,Y)<=1/2,|X-Y|<=1/2|YX)P(Y>X)$.
Ora, se $Y e analogamente per $Y>X$.
Pertanto
$P(min(X,Y)<=1/2,|X-Y|<=1/2|YX)P(Y>X)=$
$=P(Y<=1/2,X-Y<=1/2|YX)P(Y>X)=$
$=(P(Y<=1/2,X-Y<=1/2,YX))/(P(Y>X))P(Y>X)=$
$P(Y<=1/2,X-Y<=1/2,YX)$.
Adesso ti rimane da calcolare le ultime due probabilità.
Per la prima devi calcolare all'interno del quadrato di lato unitario l'area delimitata dalle rette (o meglio dai semipiani) $Y<=1/2,X-Y<=1/2,Y Ovviamente, se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure.

Ecco questi passaggi per me sono difficilissimi ma visti mi sembra di averli digeriti. Ora provo a fare ciò che, pazientemente, mi hai suggerito.

[Piera4]

Le rette individuano sul quadrato un parallelogramma la cui area dovrebbe essere $1/4$.
Comunque Giova ho notato che in quasi tutti i problemi del tuo prof soltanto l'ultimo punto è un po' più difficile rispetto agli altri, come in questo caso. Se io fossi in te punterei a capire bene tutti i punti tranne l'ultimo. In fin dei conti la probabilità che in un esame esca per due volte un esercizio con un secondo punto simile a questo è pressochè nulla, mentre capire come si trova la distribuzione del minimo, ad esempio, può essere utile perchè può uscire più di una volta all'esame.

[Giova411]

Si si hai ragione. Ma non metto solo esercizi del mio prof.. Li cerco in giro e provo a farli....
Sto vedendo che alla fine è sempre la stessa cosa da fare (con questa tipologia) però, ti assicuro, per me ste cose sono difficilissime!

Ho capito la figura che dici di vedere. Il resto ancora no. Ma non voglio chiederti niente per il momento. Hai fatto (così come LUCA) pure troppo!!! E grazie!
Devo arrivarci da solo con tutta la pappardella che già mi hai scritto. (E devo trovare pure il tempo per mettermi a tavolino )
Ce la farò!
E che C--beeep----)!