Esercizio di probabilità
Buonasera a tutti, avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Un giocatore d'azzardo propone ad uno studente universitario la seguente scommessa. Lo studente lancia un dado e guadagna 30€ ogni lancio fino a quando non ottiene 6. Quando esce 6 ll studente deve restituire 100€ al giocatore d'azzardo. Lo studente decide di accettare solo se la probabilità di non perdere è maggiore del 60%. Mostrare il procedimento e i calcoli per verificare se lo studente accetta la scommessa o no.
Io ho ragionato così: lo studente per andare in positivo deve ottenere almeno 4 lanci consecutivi con un risultato diverso da 6, in modo da totalizzare minimo 120€ e stare al di sopra dei 100€ che dovrà restituire quando gli esce 6. La probabilità di ottenere un numero diverso da 6 è 5/6. Dunque P(Vincita)=5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296 = 0.48 circa il 48%. Dunque lo studente rifiuta. Secondo voi è corretto o ho sbagliato qualcosa?
Un giocatore d'azzardo propone ad uno studente universitario la seguente scommessa. Lo studente lancia un dado e guadagna 30€ ogni lancio fino a quando non ottiene 6. Quando esce 6 ll studente deve restituire 100€ al giocatore d'azzardo. Lo studente decide di accettare solo se la probabilità di non perdere è maggiore del 60%. Mostrare il procedimento e i calcoli per verificare se lo studente accetta la scommessa o no.
Io ho ragionato così: lo studente per andare in positivo deve ottenere almeno 4 lanci consecutivi con un risultato diverso da 6, in modo da totalizzare minimo 120€ e stare al di sopra dei 100€ che dovrà restituire quando gli esce 6. La probabilità di ottenere un numero diverso da 6 è 5/6. Dunque P(Vincita)=5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296 = 0.48 circa il 48%. Dunque lo studente rifiuta. Secondo voi è corretto o ho sbagliato qualcosa?
Risposte
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"sellacollesella":
È corretto.
Trovo sempre molto interessante simulare il gioco qualche milione di volte:
Io lo faccio spesso, in particolare quando non riesco a risolvere un problema in altri modi ma anche quando
non sono molto sicuro dei miei risultati. Sono d'accordo che è molto utile.
"Geeannee":
Dunque P(Vincita)=5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296 = 0.48 circa il 48%. Secondo voi è corretto o ho sbagliato qualcosa?
Non capisco perchè lo studente non vinca anche dopo $(5/6)^n$ successi con $n>3$. Non contiamo questi scenari? Il ragionamento è sbagliato e pure il risultato.
Lo studente deve valutare tutti i possibili scenari, ovvero le possibili sequenze che conducono ad un arresto.
Il gioco può potenzialmente andare avanti all'infinito.
Se associamo all'evento/sequenza n-successi + STOP la prob. $(5/6)^n*1/6$, abbiamo che la somma è data da $1/6sum_(n=0)^(oo) (5/6)^n=1/6*6=1$
Ora che abbiamo provato che la somma di tutti i possibili eventi è pari a 1, sappiamo che la prob. di perdere è $1/6sum_(n=0)^3 (5/6)^n$
Quindi la prob. di vincere è data $1-1/6[1+5/6+(5/6)^2+(5/6)^3]=671/1296$ e non $625/1296$
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