Esercizio di combinatoria: coefficiente binomiale

[la.spina.simone]

Sono due ore che sbatto la testa su questo semplice esercizio:
Un club ha 20 membri; 12 donne e 8 uomini. Si deve formare un comitato di 6
membri. Quanti differenti comitato si possono formare se:
a) non ci sono restrizioni;
b) il comitato deve essere formato da 4 donne e 2 uomini;
c) il comitato deve avere come minimo 2 donne e 2 uomini

Domanda a) nessun problema, ovviamente $ ((20) , (6))=38760 $
Domanda b) nemmeno, viene $ ((12) , (4))*((8) , (2))=13860 $

I problemi sono sulla domanda c):
il mio ragionamento è stato:
Scelgo 2 donne a caso su 12, scelgo 2 uomini a caso su 8 e infine scelgo gli ultimi 2 a caso tra i 16 rimasti, cioè $ ((12) , (2))*((8) , (2))*((16) , (2))=221760 $
ma il risultato è troppo grande (non può essere maggiore del risultato della domanda a))
Allora l'ho risolto così:
$ ((12) , (2))*((8) , (4))+((12) , (3))*((8) , (3))+((12) , (4))*((8) , (2))=30800 $ , che sembra giusto. In questo caso ho sommato le combinazioni di 2 donne e 4 uomini, 3 donne e 3 uomini e 4 donne e 2 uomini.

Vorrei sapere se questo procedimento è giusto, e capire perchè il primo metodo è sbagliato.
Grazie

[Rggb1]

Con il primo metodo ottieni delle ripetizioni: il gruppo di "16 persone rimaste" ovviamente dipende dalle persone che fanno parte del gruppo di quattro persone già scelte.

Il secondo metodo è corretto imho.