Esercizio: Convergenza in distribuzione.
Un piccolo esercizietto.
Def. Sia $X_n$ una successione di v.a. Reali (per semplicità unidimensionali). Si dice che $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se $lim_{n to infty}F_{X_n}(x)=F_X(x)$ per ogni $x in RR$ tale che $F_X(x)$ è continua. (F sono le c.d.f.)
Dimostrare o confutare che: $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se e solo se $X_n-X$ converge in distribuzione a 0.
Ciao.
Def. Sia $X_n$ una successione di v.a. Reali (per semplicità unidimensionali). Si dice che $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se $lim_{n to infty}F_{X_n}(x)=F_X(x)$ per ogni $x in RR$ tale che $F_X(x)$ è continua. (F sono le c.d.f.)
Dimostrare o confutare che: $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se e solo se $X_n-X$ converge in distribuzione a 0.
Ciao.
Risposte
"DajeForte":
A questo punto, trovare una successione che converga in probabilità ma non in media r-esima e non q.c.
Mi rifaccio all'esempio postato prima da DajeForte. Sia $(X_n)$ una successione di v.a. indipendenti, tali che $P(X_n=n^2)=1/n$ e $P(X_n=0)=1-1/n$. Sia $X=0$.
Allora $X_nrarr_pX$. Infatti: $AAepsilon>0,\lim_{n \to \infty}P(|X_n-X|>epsilon)=\lim_{n \to \infty}P(|X_n|>epsilon)=\lim_{n \to \infty}1/n=0$.
Poiché $sum_{n=1}^{infty}P(|X_n|>epsilon)$ diverge e le variabili sono indip., per il secondo teorema di Borel-Cantelli $P("limsup"|X_n|>epsilon)=1$, per cui non si ha convergenza quasi certa.
Ora, se consideriamo $E[|X_n-X|]=E[X_n]=n$. Allora $\lim_{n \to \infty}E[|X_n-X|]=infty$. Così, $X_n$ non converge in media ($r=1$), che implica che non converge $AAr>=1$
Ottimo. Bravo.
Allora sia $X_n$ tale che $P(X_n=n^a)\ =\ 1/n\ =\ 1-P(X_n=0)$ per $a>=0$.
Allora $X_n$ converge in probabilità a 0.
Poi $E[|X_n-0|^r]=n^(ra-1)$ e possiamo giocare sul parametro $a$ per dare convergenza in media r-esima.
ad esempio se a=0 come nel mio esempio converge in media r-esima per ogni r;
se a=1/2, abbiamo $r/2-1<0$ dunque r<2 quindi in media prima ma non in media quadratica e così via.
Comunque da Borel-Cantelli (secondo) non converge mai q.c.
Ti torna? Carina come v.a.
P.S. Comunque quella cosa di B-C secondo mi fa morire perchè se ci metti la probabilità $1/(n^b)$ per b>1 allora hai la convergenza della serie ed hai B-C primo che da la convergenza q.c....bizzarra proprio!
Adesso bisogna trovare una che converga in media ma non q.c. ovviamente in media potremmo anche partire a cercare in $L^1$ e poi vedere se riusciamo ad aumentarla.
Allora sia $X_n$ tale che $P(X_n=n^a)\ =\ 1/n\ =\ 1-P(X_n=0)$ per $a>=0$.
Allora $X_n$ converge in probabilità a 0.
Poi $E[|X_n-0|^r]=n^(ra-1)$ e possiamo giocare sul parametro $a$ per dare convergenza in media r-esima.
ad esempio se a=0 come nel mio esempio converge in media r-esima per ogni r;
se a=1/2, abbiamo $r/2-1<0$ dunque r<2 quindi in media prima ma non in media quadratica e così via.
Comunque da Borel-Cantelli (secondo) non converge mai q.c.
Ti torna? Carina come v.a.
P.S. Comunque quella cosa di B-C secondo mi fa morire perchè se ci metti la probabilità $1/(n^b)$ per b>1 allora hai la convergenza della serie ed hai B-C primo che da la convergenza q.c....bizzarra proprio!
Adesso bisogna trovare una che converga in media ma non q.c. ovviamente in media potremmo anche partire a cercare in $L^1$ e poi vedere se riusciamo ad aumentarla.
"DajeForte":
Allora sia $X_n$ tale che $P(X_n=n^a)\ =\ 1/n\ =\ 1-P(X_n=0)$ per $a>=0$.
Allora $X_n$ converge in probabilità a 0.
Poi $E[|X_n-0|^r]=n^(ra-1)$ e possiamo giocare sul parametro $a$ per dare convergenza in media r-esima.
ad esempio se a=0 come nel mio esempio converge in media r-esima per ogni r;
se a=1/2, abbiamo $r/2-1<0$ dunque r<2 quindi in media prima ma non in media quadratica e così via.
Comunque da Borel-Cantelli (secondo) non converge mai q.c.
Ti torna? Carina come v.a.
Si, mi torna..
"DajeForte":
Adesso bisogna trovare una che converga in media ma non q.c. ovviamente in media potremmo anche partire a cercare in $L^1$ e poi vedere se riusciamo ad aumentarla.
Se cerchiamo in $L^1$, non è sufficiente prendere $a=1$ e la v.a. limite $X=1$?
Non ho capito. Se a=1 ho che $E[|X_n|^r]=n^{r-1}$ e quindi non converge in media r-esima per $r>=1$.
Se prendo come v.a. limite $X=1$ ho che $E[|X_n-1|]=(1-1/n)+1/n (n-1)=2-2/n$ salvo errori.
Comunque la v.a. limite deve essere una; non possiamo cambiarla,
Se prendo come v.a. limite $X=1$ ho che $E[|X_n-1|]=(1-1/n)+1/n (n-1)=2-2/n$ salvo errori.
Comunque la v.a. limite deve essere una; non possiamo cambiarla,
Io ho ragionato così:
$P(X_n=n)=1/n$, $P(X_n=0)=1-1/n$
Con il tuo esempio abbiamo visto che questa sequenza di v.a. non converge mai quasi certamente (direi a nessun numero reale). Pongo $X=1$.
Ora considero $E[|X_n-X|]=E[X_n-1]=0$, il cui limite è ancora $0$, così ho convergenza in media.
$P(X_n=n)=1/n$, $P(X_n=0)=1-1/n$
Con il tuo esempio abbiamo visto che questa sequenza di v.a. non converge mai quasi certamente (direi a nessun numero reale). Pongo $X=1$.
Ora considero $E[|X_n-X|]=E[X_n-1]=0$, il cui limite è ancora $0$, così ho convergenza in media.
Ti sei perso il modulo.
$|X_n-1|$ non è uguale a $X_n-1$.
Daltronde se converge in media ad 1 implicherebbe che converge in probabilità a 1, ma abbiamo visto che converge in probabilità a 0.
$|X_n-1|$ non è uguale a $X_n-1$.
Daltronde se converge in media ad 1 implicherebbe che converge in probabilità a 1, ma abbiamo visto che converge in probabilità a 0.
Hai ragione, infatti dopo che ho postato mi chiedevo come fosse possibile che convergesse in media ma non in prob...
A te è venuto in mente niente?
A te è venuto in mente niente?
$X_n$ indipendenti tali che $P(X_n=n^a)\ =\ 1/(n^b)\ =\ 1-P(X_n=0)$, con a e b positivi.
Ora se $b>1$ si ha che $X_n to_{q.c.}0$.
$E[|X_n|^r]=n^{ra-b}$ e dunque converge a 0 in media r-esima per $r
Questo è un primo abbozzo.
Ora se $b>1$ si ha che $X_n to_{q.c.}0$.
$E[|X_n|^r]=n^{ra-b}$ e dunque converge a 0 in media r-esima per $r
Questo è un primo abbozzo.
ok..quindi per $a$ positivo e infinitesimo a piacere, si ha convergenza per ogni $r$.
In realtà mi sono sbagliato perchè non ricordavo più cosa dovessimo trovare.
Dell'ultima v.a. che ti ho descritto, se $b>1$ sia convergenza q.c., se $b<=1$ no;
La convergenza in media r-esima si ha per $r
Adesso non so + cosa dovevamo trovare ma giocando con a e b ottiene diversi risultati.
Per il problema originario, quello che aveva accennato retrocomputer sulla convergenza (in distribuzione ma no in probabilità) dell'indicatrice credo basti considerare $X_n=1_A$ se n è pari ed $X_n=1_{A^c}$ se dispari, con $P(A)=P(A^c)=1/2$.
Bisognerebbe dimostrarlo ma mi sembra corretto.
Lo lascio a voi se volete, che ora sto uscendo.
Si può anche considerare: data $Z$ normale standard $X_n=(-1)^n Z$
Ciao.
Dell'ultima v.a. che ti ho descritto, se $b>1$ sia convergenza q.c., se $b<=1$ no;
La convergenza in media r-esima si ha per $r
Adesso non so + cosa dovevamo trovare ma giocando con a e b ottiene diversi risultati.
Per il problema originario, quello che aveva accennato retrocomputer sulla convergenza (in distribuzione ma no in probabilità) dell'indicatrice credo basti considerare $X_n=1_A$ se n è pari ed $X_n=1_{A^c}$ se dispari, con $P(A)=P(A^c)=1/2$.
Bisognerebbe dimostrarlo ma mi sembra corretto.
Lo lascio a voi se volete, che ora sto uscendo.
Si può anche considerare: data $Z$ normale standard $X_n=(-1)^n Z$
Ciao.
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