Esercizio: Convergenza in distribuzione.
Un piccolo esercizietto.
Def. Sia $X_n$ una successione di v.a. Reali (per semplicità unidimensionali). Si dice che $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se $lim_{n to infty}F_{X_n}(x)=F_X(x)$ per ogni $x in RR$ tale che $F_X(x)$ è continua. (F sono le c.d.f.)
Dimostrare o confutare che: $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se e solo se $X_n-X$ converge in distribuzione a 0.
Ciao.
Def. Sia $X_n$ una successione di v.a. Reali (per semplicità unidimensionali). Si dice che $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se $lim_{n to infty}F_{X_n}(x)=F_X(x)$ per ogni $x in RR$ tale che $F_X(x)$ è continua. (F sono le c.d.f.)
Dimostrare o confutare che: $X_n$ converge in distribuzione a $X$ se e solo se $X_n-X$ converge in distribuzione a 0.
Ciao.
Risposte
azz l'avevo studiato ma non me lo ricordo più...
c'entrano per caso le distribuzioni degeneri?
c'entrano per caso le distribuzioni degeneri?
Bè...diciamo di si, possono molto aiutare.
Per semplicità assumo che tutte le variabili casuali considerate siano definite sullo stesso spazio di probabilità.
Da ricordare che se $X_nrarr_pX$ (convergenza in probabilità), allora $X_nrarr_dX$ (convergenza in distribuzione), e che se $X_nrarr_dX$, dove $P(X=a)=1$, $ainRR$, allora $X_nrarr_pX$.
i) assumiamo che $(X_n-X)rarr_d0rArr(X_n-X)rarr_p0$, cioè, per def. di conv. in probabilità, $AA\epsilon>0, P(|(X_n-X)-0|>\epsilon)rarr0$. Allora, $AA\epsilon>0, P(|X_n-X|>\epsilon)rarr0$, cioè $X_nrarr_pX$, per cui $X_nrarr_dX$.
ii) assumiamo che $X_nrarr_dX$. Credo che in tal caso non vale che $(X_n-X)rarr_d0$. Per esempio, per il teorema del limite centrale con variabili i.i.d. sappiamo che $Y_n={sum_{i=1}^\nX_i-nE[X_1]}/{sqrt{nVar[X_1]}}rarr_dX=N(0,1)$, ma non è vero che $Y_n-X$ ha una distribuzione limite degenere in $0$.
Da ricordare che se $X_nrarr_pX$ (convergenza in probabilità), allora $X_nrarr_dX$ (convergenza in distribuzione), e che se $X_nrarr_dX$, dove $P(X=a)=1$, $ainRR$, allora $X_nrarr_pX$.
i) assumiamo che $(X_n-X)rarr_d0rArr(X_n-X)rarr_p0$, cioè, per def. di conv. in probabilità, $AA\epsilon>0, P(|(X_n-X)-0|>\epsilon)rarr0$. Allora, $AA\epsilon>0, P(|X_n-X|>\epsilon)rarr0$, cioè $X_nrarr_pX$, per cui $X_nrarr_dX$.
ii) assumiamo che $X_nrarr_dX$. Credo che in tal caso non vale che $(X_n-X)rarr_d0$. Per esempio, per il teorema del limite centrale con variabili i.i.d. sappiamo che $Y_n={sum_{i=1}^\nX_i-nE[X_1]}/{sqrt{nVar[X_1]}}rarr_dX=N(0,1)$, ma non è vero che $Y_n-X$ ha una distribuzione limite degenere in $0$.
E già...bravo!
Diciamo che per la seconda implicazione (quella non vera) appunto è non vera perchè altrimenti la convergenza in distribuzione implicherebbe quella in probabilità (e quindi sarebbero la stessa cosa).
Infatti $X_n to_dX$ implica che $(X_n-X) to_d 0$ che implica $(X_n -X) to_p 0$ che da $X_n to_p X$.
Quindi un controesempio è di una successione che converge in distribuzione ma no in probabilità (come quella che hai detto tu).
Ne sapresti trovare un altro di esempio che non fa uso del teorema del limite centrale?
Diciamo che per la seconda implicazione (quella non vera) appunto è non vera perchè altrimenti la convergenza in distribuzione implicherebbe quella in probabilità (e quindi sarebbero la stessa cosa).
Infatti $X_n to_dX$ implica che $(X_n-X) to_d 0$ che implica $(X_n -X) to_p 0$ che da $X_n to_p X$.
Quindi un controesempio è di una successione che converge in distribuzione ma no in probabilità (come quella che hai detto tu).
Ne sapresti trovare un altro di esempio che non fa uso del teorema del limite centrale?
Ricordo vagamente un qualcosa tipo $X_n$ la funzione indicatrice di un evento di probabilità $1/2$ e $X$ la funzione indicatrice del suo complementare... Mi sembra che torni sia la convergenza in legge sia la non convergenza in probabilità...
"DajeForte":
Ne sapresti trovare un altro di esempio che non fa uso del teorema del limite centrale?
Pensiamo agli stimatori di massima verosimiglianza. Sia $(theta_n)_{n>=1}$ una successione di stimatori non distorti di massima verosimiglianza per $theta$, ciascuno dei quali basato sulle variabili casuali (osservazioni) $X_1,..,X_n$, la cui densità è $f_X(x;theta)$. Sia $I_X(theta)$ l'informazione di Fisher (valore atteso della score function al quadrato).
Sia $g(theta)$ una qualsiasi funzione reale misurabile di $theta$ (che può anche essere un vettore, ma assumiamo per semplicità che abbia dimensione uno). Allora:
$sqrt{n}(g(theta_n)-g(theta))rarr_dY\simN(0,{g'(theta)^2}/{I_X(theta)})$.
Ma non è vero che $([sqrt{n}(g(theta_n)-g(theta))]-Y)$ converge in distribuzione a $0$.
"retrocomputer":
Ricordo vagamente un qualcosa tipo $X_n$ la funzione indicatrice di un evento di probabilità $1/2$ e $X$ la funzione indicatrice del suo complementare... Mi sembra che torni sia la convergenza in legge sia la non convergenza in probabilità...
l'idea mi pare buona, dovresti (se ne hai voglia) formalizzare un po' meglio.
Edit: @frapippo: mi pare corretto; la funzione $g$ se non ricordo male deve essere derivabile e la derivata non si deve annullare.
"DajeForte":
Edit: @frapippo: mi pare corretto; la funzione $g$ se non ricordo male deve essere derivabile e la derivata non si deve annullare.
concordo..
"DajeForte":
l'idea mi pare buona, dovresti (se ne hai voglia) formalizzare un po' meglio.
Buona, ma non mia
Mi ricordo di averla vista come controesempio riguardante proprio i due tipi di convergenza in legge e in probabilità.Vediamo un po'... Chiamo $I_A$ la funzione indicatrice di $A$ e definisco $X_n=I_A$ per ogni $n$ e $X=I_{A^c}$. Si vede facilmente (ma io ci ho messo 10 minuti buoni
) che le funzioni di ripartizione di $X_n$ e $X$ sono uguali, quindi vale la convergenza in distribuzione.Invece non vale la convergenza in probabilità perché risulta sempre $|X_n-X|=1$.
e qua ti volevo...
La distribuzione di $X_n$ è ovviamente una dicotomica (0,1) di probabilità $P(X_n=0)=P(X_n=1)=1/2$ ed è costante rispetto a n quindi converge in distribuzione alla Bernoulliana (ovvero converge la distribuzione).
Ti faccio notare che se definisco $Y=I_B$ dove $B$ è un evento di probabilità un mezzo anche a quella converge...ed ecco qua non si parla della convergenza della successione di variabili aleatorie ad una v.a ma della loro distribuzione ad una distribuzione...
La tua successione $X_n=I_A$ converge quasi certamente (e qua parliamo delle v.a.), ovviamente non a $I_{A^c}$ ma a $I_A$.
Comprendi quello che voglio dire?
La tua successione converge in qualsiasi forma tu scegli.
La distribuzione di $X_n$ è ovviamente una dicotomica (0,1) di probabilità $P(X_n=0)=P(X_n=1)=1/2$ ed è costante rispetto a n quindi converge in distribuzione alla Bernoulliana (ovvero converge la distribuzione).
Ti faccio notare che se definisco $Y=I_B$ dove $B$ è un evento di probabilità un mezzo anche a quella converge...ed ecco qua non si parla della convergenza della successione di variabili aleatorie ad una v.a ma della loro distribuzione ad una distribuzione...
La tua successione $X_n=I_A$ converge quasi certamente (e qua parliamo delle v.a.), ovviamente non a $I_{A^c}$ ma a $I_A$.
Comprendi quello che voglio dire?
La tua successione converge in qualsiasi forma tu scegli.
Certo, $X_n$ non converge quasi certamente a $X$, siamo d'accordo... Ma entrambe hanno come legge la legge di Bernoulli di parametro $1/2$, per cui mi pare difficile dire che non c'é convergenza in legge... Nella convergenza in legge dovrebbe contare solo la legge, no? Cosa mi sfugge?
No il problema è che la tua successione converge anche q.c.
$X_n=I_A$ per ogni n;
$X=I_A$
$forall varepsilon>0 \quad P(lim "inf" \ \ |X_n-X|
Daltronde $X_n=X$ per ogni n è ovvio che vi converge in qualsiasi forma.
$X_n=I_A$ per ogni n;
$X=I_A$
$forall varepsilon>0 \quad P(lim "inf" \ \ |X_n-X|
Daltronde $X_n=X$ per ogni n è ovvio che vi converge in qualsiasi forma.
Rilancio: sappiamo che la convergenza quasi certa implica quella in probabilità. Formulare un esempio in cui una successione $(X_n)$ di v.a. converge in probabilità ad una v.a. $X$, ma non vi converge quasi certamente.
"DajeForte":
No il problema è che la tua successione converge anche q.c.
$X_n=I_A$ per ogni n;
$X=I_A$
E va bene, su questo siamo d'accordo: la successione delle $X_n$ converge quasi certamente alla variabile aleatoria $I_A$ e (quindi) non converge quasi certamente alla variabile $I_{A^c}$. OK?
Noi volevamo una successione per cui valessero entrambe le seguenti:
1. $X_n$ converge in legge a $X$;
2. $X_n$ non converge in probabilità a $X$.
Io ho tirato fuori l'esempio di $X_n=I_A$ per ogni $n$ e $X=I_{A^c}$, e, se non sbaglio, abbiamo convenuto che in questo caso sicuramente vale la 2, OK? $X_n$ converge sì in probabilità, ma non alla $X$.
Allora il problema è che non vale la 1? Bene, dimostriamolo
Io ovviamente non lo so fare perché pesavo di avere dimostrato il contrario 
"retrocomputer":
Vediamo un po'... Chiamo $I_A$ la funzione indicatrice di $A$ e definisco $X_n=I_A$ per ogni $n$ e $X=I_{A^c}$. Si vede facilmente (ma io ci ho messo 10 minuti buoni
Invece non vale la convergenza in probabilità perché risulta sempre $|X_n-X|=1$.
Mi sembra fili..
"DajeForte":
e qua ti volevo...
La distribuzione di $X_n$ è ovviamente una dicotomica (0,1) di probabilità $P(X_n=0)=P(X_n=1)=1/2$ ed è costante rispetto a n quindi converge in distribuzione alla Bernoulliana (ovvero converge la distribuzione).
Ti faccio notare che se definisco $Y=I_B$ dove $B$ è un evento di probabilità un mezzo anche a quella converge...ed ecco qua non si parla della convergenza della successione di variabili aleatorie ad una v.a ma della loro distribuzione ad una distribuzione...
E' giusto, per definizione di convergenza in distribuzione o debole come dir si voglia. Infatti, per la convergenza in distribuzione, non è richiesto che le v.a. siano definite sullo stesso spazio di probabilità, dato che si considerano le funzioni di distribuzioni su $RR$ e non le misure di probabilità su $(Omega,F)$.
Dunque l'esempio di retrocomputer mi sembra corretto.
"DajeForte":
Sia $X_n$ una successione di v.a. indipendenti tali che $P(X_n=1)=1/(n)$ e $P(X_n=0)=1-1/n$
Sia la v.a. limite $X=0$
Se $e>0$; $P(|X_n|>=e)=1/n$ (eventualmente 0 se $e>1$ che è triviale) che converge a 0.
Da Borel-Cantelli si ha però che $P( \lim "sup" |X_n|>=e)=1$
Semplice e chiarissimo! Faccio notare solo la fondamentale assunzione di indipendenza delle v.a., necessaria per l'applicazione del (secondo) teorema di Borel-Cantelli. Supponendo, per esempio, che $P(X_n=1)=1/{n^2}$, avremmo avuto anche convergenza quasi certa e in tal caso (dato che abbiamo applicato il primo teorema di Borel-Cantelli) non c'era bisogno dell'indipendenza.
Oddio mi trovo un po' spiazato...provo a risponderti.
E va bene, su questo siamo d'accordo: la successione delle $X_n$ converge quasi certamente alla variabile aleatoria $I_A$ e (quindi) non converge quasi certamente alla variabile $I_{A^c}$. OK?[/quote]
e fin qua tutto a posto
Si però che non converge in probabilità; no che non converge in probabilità a X, capisci che è un po' strano quello che dici.
Allora ti basta prendere una normale $X$, definire $X_n=X$ per ogni $n$ e poi definire una normale indipendente $Y$ con stessa distribuzione. Allora $X_n$ converge in distribuzione a Y, ma ovviamente non in probabilità. Capito cosa intendo?
"retrocomputer":
[quote="DajeForte"]No il problema è che la tua successione converge anche q.c.
$X_n=I_A$ per ogni n;
$X=I_A$
E va bene, su questo siamo d'accordo: la successione delle $X_n$ converge quasi certamente alla variabile aleatoria $I_A$ e (quindi) non converge quasi certamente alla variabile $I_{A^c}$. OK?[/quote]
e fin qua tutto a posto
"retrocomputer":
Noi volevamo una successione per cui valessero entrambe le seguenti:
1. $X_n$ converge in legge a $X$;
2. $X_n$ non converge in probabilità a $X$.
Si però che non converge in probabilità; no che non converge in probabilità a X, capisci che è un po' strano quello che dici.
Allora ti basta prendere una normale $X$, definire $X_n=X$ per ogni $n$ e poi definire una normale indipendente $Y$ con stessa distribuzione. Allora $X_n$ converge in distribuzione a Y, ma ovviamente non in probabilità. Capito cosa intendo?
@frapippo: quello che dici sul post di retrocomputer mi pare corretto, però vi chiedevo un esempio di successione che convergesse in distribuzione ma non in probabilità.
A questo punto, trovare una successione che converga in probabilità ma non in media r-esima e non q.c., e se possibile che converge q.c. ma non in media r-esima (se risulta possibile).
A questo punto, trovare una successione che converga in probabilità ma non in media r-esima e non q.c., e se possibile che converge q.c. ma non in media r-esima (se risulta possibile).
"DajeForte":
@frapippo: quello che dici sul post di retrocomputer mi pare corretto, però vi chiedevo un esempio di successione che convergesse in distribuzione ma non in probabilità.
Ok, chiaro. Per riassumere: l'esempio di retrocomputer è corretto nel dimostrare che $X_n$ converge in distribuzione a $X$, ma non vi converge in probabilità. Nonostante tutto, $X_n$ converge quasi certamente (e quindi in prob) ad una variabile limite.
"frapippo":
Ok, chiaro. Per riassumere: l'esempio di retrocomputer è corretto nel dimostrare che $X_n$ converge in distribuzione a $X$, ma non vi converge in probabilità. Nonostante tutto, $X_n$ converge quasi certamente (e quindi in prob) ad una variabile limite.
Esatto. Potrebbe comunque andare bene per quello che dicevo i, credo.
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