Esercizio consistenza stimatore
Consider a sample $ X1,X2,…,Xn $ from the following density function
\(\displaystyle f_{\theta} (x) = \frac{1}{\theta} \, \mbox{exp} \left\{ - \frac{1}{\theta} \, x \right\} \qquad x>0 \)
where $ θ>0 $ is an unknown parameter. Show that the following estimator is weakly consistent for $ θ $ :
\(\displaystyle T_n = \displaystyle{\frac{1}{n-1} \, \sum_{i=1}^{n} X_i} - \frac{X_1}{n} \)
Salve, sto provando a fare questo esercizio, ma trovo difficoltà a capire lo svolgimento per il calcolo della verosimiglianza. So di dover ancora approfondire l'argomento, ma mi interessava conoscere in che modo si interpreta l'esercizio con l'applicazione della teoria. Spero di non andate contro il regolamento facendo questa richiesta.
\(\displaystyle f_{\theta} (x) = \frac{1}{\theta} \, \mbox{exp} \left\{ - \frac{1}{\theta} \, x \right\} \qquad x>0 \)
where $ θ>0 $ is an unknown parameter. Show that the following estimator is weakly consistent for $ θ $ :
\(\displaystyle T_n = \displaystyle{\frac{1}{n-1} \, \sum_{i=1}^{n} X_i} - \frac{X_1}{n} \)
Salve, sto provando a fare questo esercizio, ma trovo difficoltà a capire lo svolgimento per il calcolo della verosimiglianza. So di dover ancora approfondire l'argomento, ma mi interessava conoscere in che modo si interpreta l'esercizio con l'applicazione della teoria. Spero di non andate contro il regolamento facendo questa richiesta.
Risposte
Dunque Harris! La verosimiglianza è il prodotto delle n densità, ovvero $L=1/theta^n e^(-1/theta sum_i X_i)$ ma non so a cosa tu voglia arrivare.....non serve a nulla per l'esercizio.
Ti sta chiedendo di provare la consistenza (debole) dello stimatore (che non è lo stimatore di MV) verso $theta$, ovvero di provare che
$lim_(n rarr +oo)P{|T_n-theta|
Si può provare utilizzando la disuguaglianza di Cebicev, da cui discende la seguente condizione sufficiente: devono valere entrambe le seguenti:
$lim_(n rarr +oo)E[T_n]=theta$
$lim_(n rarr +oo)V[T_n]=0$
Quindi devi innanzitutto calcolare media e varianza dello stimatore proposto.....
Ti sta chiedendo di provare la consistenza (debole) dello stimatore (che non è lo stimatore di MV) verso $theta$, ovvero di provare che
$lim_(n rarr +oo)P{|T_n-theta|
Si può provare utilizzando la disuguaglianza di Cebicev, da cui discende la seguente condizione sufficiente: devono valere entrambe le seguenti:
$lim_(n rarr +oo)E[T_n]=theta$
$lim_(n rarr +oo)V[T_n]=0$
Quindi devi innanzitutto calcolare media e varianza dello stimatore proposto.....
Sì, ho capito.
Nell'eventualità la verosimiglianza di $ L=1/theta^n e^(-1/theta sum_i X_i) $ è
$ logL=-nlogtheta-1/theta sum x_i $
$ partial/(partialtheta)logL=-n/theta-sumx_i=0 rarr hat(theta)=-n/(sumx_i )$
Per quanto riguarda l'esercizio ti volevo chiedere il favore di farmi vedere come si calcolano. Vorrei prenderci la mano. Grazie
Nell'eventualità la verosimiglianza di $ L=1/theta^n e^(-1/theta sum_i X_i) $ è
$ logL=-nlogtheta-1/theta sum x_i $
$ partial/(partialtheta)logL=-n/theta-sumx_i=0 rarr hat(theta)=-n/(sumx_i )$
Per quanto riguarda l'esercizio ti volevo chiedere il favore di farmi vedere come si calcolano. Vorrei prenderci la mano. Grazie
No, hai sbagliato la derivata. Rifai i conti: ti deve venire $hat(theta)=bar(X)$
Ma poi scusa...anche senza fare conti, la densità è una esponenziale di media $theta$... il suo stimatore deve per forza essere la media campionaria.... o No?
Per media e varianza ti invito a provare... è davvero semplice, basta usare le proprietà di media e varianza
Ma poi scusa...anche senza fare conti, la densità è una esponenziale di media $theta$... il suo stimatore deve per forza essere la media campionaria.... o No?
Per media e varianza ti invito a provare... è davvero semplice, basta usare le proprietà di media e varianza
Allora io ho fatto cosi per quanto riguarda la media è varianza dello stimatore $ T_n $
$ E(T_n)=1/(n-1) E(sumx_1) - 1/n E(X_1) $
$ =1/(1-n) sumE(x_i) - 1/n theta $
$ =(ntheta)/(n-1)-theta/n $
$ lim_(n rarr +oo) (ntheta)/(n-1) - theta/n = theta $
$ Var(T_n)= Var (1/(n-1) sumx_i - X_1/n) $
$ = Var (1/(n-1) sumx_i) + Var(X_1/n) $
$ = 1/(n-1)^2 Var(sumx_i) + 1/(n^2) Var(X_1) $
$ = 1/(n-1)^2 sumVar(x_i) + 1/(n^2) sigma^2 $
$ = 1/(n-1)^2 n sigma^2 + 1/(n^2)sigma^2 $
$ lim_(n rarr +oo) V(T_n)=0 $
$ E(T_n)=1/(n-1) E(sumx_1) - 1/n E(X_1) $
$ =1/(1-n) sumE(x_i) - 1/n theta $
$ =(ntheta)/(n-1)-theta/n $
$ lim_(n rarr +oo) (ntheta)/(n-1) - theta/n = theta $
$ Var(T_n)= Var (1/(n-1) sumx_i - X_1/n) $
$ = Var (1/(n-1) sumx_i) + Var(X_1/n) $
$ = 1/(n-1)^2 Var(sumx_i) + 1/(n^2) Var(X_1) $
$ = 1/(n-1)^2 sumVar(x_i) + 1/(n^2) sigma^2 $
$ = 1/(n-1)^2 n sigma^2 + 1/(n^2)sigma^2 $
$ lim_(n rarr +oo) V(T_n)=0 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo