Esercizio con Variabili Aleatorie
Ho svolto qualche giorno fa lo scritto del mio esame di probabilità e sono stato ammesso all'orale dove dovrò per anche ridiscutere diversi punti di questo compito. Uno è proprio questo:
Mi viene data la seguente densità di probabilità definita nell'intervallo (0,2):
$ v(x)= ((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta $
Devo calcolare la legge di densità della variabile aleatoria Z=V+Y dove Y si distribuisce come una Uniforme(0,3).
Comincio con l'osservare che essendo Y una Unif(0,3), essa ha legge di densità fY(x)=1/3 e funzione di ripartizione FY(x)=x/3. Come potete vedere sto esprimendo le funzioni di densità e di ripartizione in x e non in y per semplificarmi il lavoro nel calcolo di Z.
Procedo ora nel considerare la funzione di ripartizione di Z:
\(\displaystyle FZ(z)=P(Z<=z)=P(V+Y<=z)=P(Y<=z-V) \)
Il problema è che il professore ha pensato bene di non fornirci alcuna soluzione ma si è limitato a dire che quelle da considerare per il calcolo di questa probabilità non sono aree. In realtà però io da qui avrei fatto le cose che esplicito di seguito.
Poiché \(\displaystyle Z=V+Y \) e io so che V varia in (0,2) e Y varia in (0,3), Z si distribuirà in (0,5) e dovrò calcolare gli integrali per le seguenti aree:
- area A: \(\displaystyle 0
$ P(A)=int_(0)^(z)dxint_(0)^(z-v)dv*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3 $
$ P(B)=int_(0)^(z-2)dxint_(0)^(2)dv*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3+int_(z-2)^(z)dxint_(0)^(z-x)dx*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3 $
$ P(C)=int_(0)^(oo)dxint_(0)^(v)dv*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3 $
Vorrei un giudizio su quello che pensavo fosse lo svolgimento dell'esercizio e magari una spiegazione dello stesso nel caso il mio sia errato.
Grazie a chiunque vorrà darmi una mano.
Mi viene data la seguente densità di probabilità definita nell'intervallo (0,2):
$ v(x)= ((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta $
Devo calcolare la legge di densità della variabile aleatoria Z=V+Y dove Y si distribuisce come una Uniforme(0,3).
Comincio con l'osservare che essendo Y una Unif(0,3), essa ha legge di densità fY(x)=1/3 e funzione di ripartizione FY(x)=x/3. Come potete vedere sto esprimendo le funzioni di densità e di ripartizione in x e non in y per semplificarmi il lavoro nel calcolo di Z.
Procedo ora nel considerare la funzione di ripartizione di Z:
\(\displaystyle FZ(z)=P(Z<=z)=P(V+Y<=z)=P(Y<=z-V) \)
Il problema è che il professore ha pensato bene di non fornirci alcuna soluzione ma si è limitato a dire che quelle da considerare per il calcolo di questa probabilità non sono aree. In realtà però io da qui avrei fatto le cose che esplicito di seguito.
Poiché \(\displaystyle Z=V+Y \) e io so che V varia in (0,2) e Y varia in (0,3), Z si distribuirà in (0,5) e dovrò calcolare gli integrali per le seguenti aree:
- area A: \(\displaystyle 0
$ P(A)=int_(0)^(z)dxint_(0)^(z-v)dv*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3 $
$ P(B)=int_(0)^(z-2)dxint_(0)^(2)dv*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3+int_(z-2)^(z)dxint_(0)^(z-x)dx*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3 $
$ P(C)=int_(0)^(oo)dxint_(0)^(v)dv*((beta+1)/2^(beta+1))*x^beta*1/3 $
Vorrei un giudizio su quello che pensavo fosse lo svolgimento dell'esercizio e magari una spiegazione dello stesso nel caso il mio sia errato.
Grazie a chiunque vorrà darmi una mano.
Risposte
Puoi sfruttare la seguente formula:
siano X, Y variabili aleatorie continue di densità rispettivamente $\rho_X, \rho_Y$, allora Z=X+Y ha densità $\rho_Z$ data da:
$ \rho_Z(t)= int_(-\infty)^(+\infty)\rho_X(s) \rho_Y(t-s) ds $
Qui chiaramente gli estremi dell'integrale puoi vedere a mano che nel tuo caso sono finiti e puoi vedere anche a occhio dove ti serve calcolare la densità. Questa formula deriva da quella su variabili aleatorie con legge discreta (in quel caso la dimostrazione è facile) e dal fatto che le variabili aleatorie continue sono "approssimate" da quelle discrete (anche se non è questo l'unico modo di dimostrarlo).
Puoi utilizzare questo per il tuo problema.
siano X, Y variabili aleatorie continue di densità rispettivamente $\rho_X, \rho_Y$, allora Z=X+Y ha densità $\rho_Z$ data da:
$ \rho_Z(t)= int_(-\infty)^(+\infty)\rho_X(s) \rho_Y(t-s) ds $
Qui chiaramente gli estremi dell'integrale puoi vedere a mano che nel tuo caso sono finiti e puoi vedere anche a occhio dove ti serve calcolare la densità. Questa formula deriva da quella su variabili aleatorie con legge discreta (in quel caso la dimostrazione è facile) e dal fatto che le variabili aleatorie continue sono "approssimate" da quelle discrete (anche se non è questo l'unico modo di dimostrarlo).
Puoi utilizzare questo per il tuo problema.
Ok, grazie. Ma nel caso avessi avuto, per esempio: \(\displaystyle Z=VY \), avrei usato la stessa formula?
In ogni caso grazie ai tuoi consigli
di cui ho trovato anche riscontri sul libro di testo, sono arrivato alla seguente soluzione:
$ P(A)=int_(0)^(z) ((beta+1)/(2^beta+1))*(x^beta)*1/3 dx=z^(beta+1)/(3*2^(beta+1)) $
$ P(B)=int_(2)^(z) ((beta+1)/(2^beta+1))*(x^beta)*1/3 dx=(z^(beta+1)-2^(beta+1))/(3*2^(beta+1)) $
$ P(C)=int_(3)^(z) ((beta+1)/(2^beta+1))*(x^beta)*1/3 dx=(z^(beta+1)-3^(beta+1))/(3*2^(beta+1)) $
Dove $ A: 0
Che ne dite? Può andare?
In ogni caso grazie ai tuoi consigli
di cui ho trovato anche riscontri sul libro di testo, sono arrivato alla seguente soluzione:$ P(A)=int_(0)^(z) ((beta+1)/(2^beta+1))*(x^beta)*1/3 dx=z^(beta+1)/(3*2^(beta+1)) $
$ P(B)=int_(2)^(z) ((beta+1)/(2^beta+1))*(x^beta)*1/3 dx=(z^(beta+1)-2^(beta+1))/(3*2^(beta+1)) $
$ P(C)=int_(3)^(z) ((beta+1)/(2^beta+1))*(x^beta)*1/3 dx=(z^(beta+1)-3^(beta+1))/(3*2^(beta+1)) $
Dove $ A: 0
Che ne dite? Può andare?
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