Esercizio calcolo delle probabilità.
Salve a tutti.
Ho questo esercizio che non riesco a risolvere:
"Attorno a un tavolo si devono riunire 12 persone di cui 5 milanesi. Uno di questi calcola la probabilità di trovarsi in mezzo a due concittadini. A quale risultato deve pervenire?".
Per quanto riguarda il numero dei casi possibili, ho provato a ragionare considerando di intervenire con una permutazione \(\displaystyle P_{12} \).
Per quanto riguarda il numero dei casi favorevoli, non riesco proprio a pensare a nulla, se non a considerare un insieme non più composto da 12 elementi ma da dieci: insieme, quest'ultimo, composto da una terna di milanesi, dai rimanenti due milanesi e dai sette non milanesi.
Ho questo esercizio che non riesco a risolvere:
"Attorno a un tavolo si devono riunire 12 persone di cui 5 milanesi. Uno di questi calcola la probabilità di trovarsi in mezzo a due concittadini. A quale risultato deve pervenire?".
Per quanto riguarda il numero dei casi possibili, ho provato a ragionare considerando di intervenire con una permutazione \(\displaystyle P_{12} \).
Per quanto riguarda il numero dei casi favorevoli, non riesco proprio a pensare a nulla, se non a considerare un insieme non più composto da 12 elementi ma da dieci: insieme, quest'ultimo, composto da una terna di milanesi, dai rimanenti due milanesi e dai sette non milanesi.
Risposte
Bisognerebbe interpretare prima quel "uno di questi".
"uno di questi" delle 12 persone ? "uno di questi" dei 5 milanesi?
Considerato che il soggetto della frase sono le 12 persone, il soggetto potrebbe essere un milanese, oppure non.
Quindi ti conviene calcolare la p. separando i due casi distinti.
"uno di questi" delle 12 persone ? "uno di questi" dei 5 milanesi?
Considerato che il soggetto della frase sono le 12 persone, il soggetto potrebbe essere un milanese, oppure non.
Quindi ti conviene calcolare la p. separando i due casi distinti.
Io credo che si riferisca ai milanesi, anche perchè, se così non fosse, non ci sarebbero informazioni sufficienti.
Degli altri 7, infatti, non sappiamo niente
.
Degli altri 7, infatti, non sappiamo niente
.
"turtle87":
Io credo che si riferisca ai milanesi, anche perchè, se così non fosse, non ci sarebbero informazioni sufficienti.
Degli altri 7, infatti, non sappiamo niente
Ok.
allora posiziona il soggetto (milanese), in un posto qualsiasi del tavolo, e pensa....
.... quale è la p. che alla sua destra si siede un altro polentone ?
.... ed ancora, quale è la p. che ora alla sua sinistra se ne siede un altro ?
Provo un po' a ragionare 
:
Per quanto riguarda i casi possibili, ragiono come segue:
Il milanese in questione può sedersi in tutte e dodici le posizioni. Per ognuna di queste, considero la probabilità che un altro milanese occupi il posto alla sua destra, cioè considero la combinazione \(\displaystyle C_{4, 1} \); per quanto riguarda il posto alla sua sinistra, considero invece la combinazione \(\displaystyle C_{3, 1} \). Ovviamente, non bisogna tralasciare il fatto che gli altri 7 individui possano ruotare nei rimanenti posti. Per questa cosa, ho provato a pensare ad un'altra permutazione.
Dov'è che sbaglio?
:Per quanto riguarda i casi possibili, ragiono come segue:
Il milanese in questione può sedersi in tutte e dodici le posizioni. Per ognuna di queste, considero la probabilità che un altro milanese occupi il posto alla sua destra, cioè considero la combinazione \(\displaystyle C_{4, 1} \); per quanto riguarda il posto alla sua sinistra, considero invece la combinazione \(\displaystyle C_{3, 1} \). Ovviamente, non bisogna tralasciare il fatto che gli altri 7 individui possano ruotare nei rimanenti posti. Per questa cosa, ho provato a pensare ad un'altra permutazione.
Dov'è che sbaglio?
Sono riuscito ad arrivare la soluzione che da' il mio libro, anche se non in maniera sistematica, ma ragionando un po' più di quanto non abbia fatto nell'ultimo post. Ovviamente, non essendoci arrivato in maniera "sistematica", con poche e mirate formule, posto la soluzione per avere consigli o delucidazioni in merito, qualora Umby o altri abbiano il piacere di darmene.
Dunque, per quanto riguarda i casi possibili, ho ragionato come detto sopra, modificando però l'ultima permutazione, poichè ho considerato che a ruotare non fossero solo i 7 non milanesi, ma anche i rimanenti due milanesi (rimanenti perchè non messi "vicini per tre posti").
Quindi ho svolto il seguente calcolo:
$ p = (12 * C_{4,1} * C_{3, 1} * P_{9})/ (P_{12}) $, indicando con
$12$ = il numero di posizioni che può occupare il milanese che fa il calcolo.
$C_{4,1}$ e $C_{3, 1}$ = le due combinazioni che riguardano i milanesi rimasti.
$P_{9}$ = la permutazione indicante le posizioni che i rimanenti due milanesi e gli altri 7 possono occupare.
$P_{12}$ = Il numero di casi possibili.
Se non ho fatto male i calcoli, il risultato coincide con quello datomi dal testo. Però, come dicevo sopra, non sono totalmente convinto del procedimento da me seguito.
Dunque, per quanto riguarda i casi possibili, ho ragionato come detto sopra, modificando però l'ultima permutazione, poichè ho considerato che a ruotare non fossero solo i 7 non milanesi, ma anche i rimanenti due milanesi (rimanenti perchè non messi "vicini per tre posti").
Quindi ho svolto il seguente calcolo:
$ p = (12 * C_{4,1} * C_{3, 1} * P_{9})/ (P_{12}) $, indicando con
$12$ = il numero di posizioni che può occupare il milanese che fa il calcolo.
$C_{4,1}$ e $C_{3, 1}$ = le due combinazioni che riguardano i milanesi rimasti.
$P_{9}$ = la permutazione indicante le posizioni che i rimanenti due milanesi e gli altri 7 possono occupare.
$P_{12}$ = Il numero di casi possibili.
Se non ho fatto male i calcoli, il risultato coincide con quello datomi dal testo. Però, come dicevo sopra, non sono totalmente convinto del procedimento da me seguito.
Puoi estrarre \(\binom{11}{2}\) coppie da 11 persone diverse dal milanese che calcola la probabilità di avere due vicini concittadini e puoi comporre \(\binom{4}{2}\) coppie di milanesi con 4 di loro a disposizione, quindi...
Affrontando la questione in modo più generale, e ancora più interessante, chiamando $X$ la variabile aleatoria costituita dal numero di milanesi in una coppia scelta a caso tra le 11 persone che compongono il gruppo oltre al nostro milanese che calcola la probabilità, si può valutare la probabilità \(P(X=2)\). Ora, $X$ ha distribuzione, direi, ipergeometrica \(\mathcal{H}(11\) (gli altri commensali)$,4$ (gli altri milanesi)$,2$ (gli elementi di una coppia di vicini di posto)\()\), quindi\[P(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\binom{11-4}{2-2}}{\binom{11}{2}}=\frac{6}{55}\]
Spero di venire corretto se ho detto delle scemenze...
Ciao!
Affrontando la questione in modo più generale, e ancora più interessante, chiamando $X$ la variabile aleatoria costituita dal numero di milanesi in una coppia scelta a caso tra le 11 persone che compongono il gruppo oltre al nostro milanese che calcola la probabilità, si può valutare la probabilità \(P(X=2)\). Ora, $X$ ha distribuzione, direi, ipergeometrica \(\mathcal{H}(11\) (gli altri commensali)$,4$ (gli altri milanesi)$,2$ (gli elementi di una coppia di vicini di posto)\()\), quindi\[P(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\binom{11-4}{2-2}}{\binom{11}{2}}=\frac{6}{55}\]
Spero di venire corretto se ho detto delle scemenze...
Ciao!
Scusatemi, ma io davvero non capisco... 
Combinazioni, Permutazioni, Ipergeometrica etc etc....
Ti avevo consigliato di mettere il milanese in uno qualsiasi dei posti disponibili. (...dove vuoi te... )
Quale è la p, che alla sua destra si sieda un altro milanese ? Abbiamo altre 11 persone, di cui solo 4 milanesi. Semplice no ? $4/11$
Passiamo a sinistra. Quale è la p. che si sia un altro milanese ? Le persone rimaste son 10, ed i milanesi restanti solo 3. $3/10$
Quindi: $4/11 * 3/10 = 6/55$
Combinazioni, Permutazioni, Ipergeometrica etc etc....
Ti avevo consigliato di mettere il milanese in uno qualsiasi dei posti disponibili. (...dove vuoi te... )
Quale è la p, che alla sua destra si sieda un altro milanese ? Abbiamo altre 11 persone, di cui solo 4 milanesi. Semplice no ? $4/11$
Passiamo a sinistra. Quale è la p. che si sia un altro milanese ? Le persone rimaste son 10, ed i milanesi restanti solo 3. $3/10$
Quindi: $4/11 * 3/10 = 6/55$
Ciao Umby.
Come dici spesso tu, la soluzione più semplice è sempre la migliore.
L'ho notato anch'io. Spesso invece di ragionare un po', ci si perde a cercare la soluzione con le più disparate e complicate formule matematiche.....
Come dici spesso tu, la soluzione più semplice è sempre la migliore.
L'ho notato anch'io. Spesso invece di ragionare un po', ci si perde a cercare la soluzione con le più disparate e complicate formule matematiche.....
Ti avevo consigliato di mettere il milanese in uno qualsiasi dei posti disponibili. (...dove vuoi te... )
Hai ragione, ho pensato che il suggerimento riguardasse comunque delle combinazioni. Diciamo che nel mio caso non conosco bene le regole, anche per questo tendo a complicare le cose
Sono stato tratto "in inganno", diciamo così, dal primo dato del problema, che subito mi ha fatto pensare a delle combinazioni (per quanto riguarda i casi possibili) Ciao Umby.
Come dici spesso tu, la soluzione più semplice è sempre la migliore.
L'ho notato anch'io. Spesso invece di ragionare un po', ci si perde a cercare la soluzione con le più disparate e complicate formule matematiche.....
E' giusto. Magari ci riuscissi, ad avere una mente semplice
! Nel mio caso, anche se ragiono, la vita me la complico comunque Grazie a tutti coloro che sono intervenuti nella discussione, comunque
"superpippone":
Ciao Umby.
Come dici spesso tu, la soluzione più semplice è sempre la migliore.
Vero.... anche perchè con calcoli semplici, la possibilità di commettere un errore si riduce di parecchio...
"turtle87":
Hai ragione, ho pensato che il suggerimento riguardasse comunque delle combinazioni.
mbè.... se proprio vuoi utilizzare le combinazioni, io avrei ragionato cosi':
Fissato il milanese, in quanti modi posso disporre la coppia (destra-sinistra) tra gli altri 11? $((11),(2)) = 55$
considerato che tra gli 11, ci sono 4 milanesi, quali sono le combinazioni valide ? $((4),(2)) = 6$
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