Esercizio Bayes
Ciao ragazzi, avrei bisogno di voi per alcuni chiarimenti. Di seguito il testo dell'esercizio:
Classico esercizio Bayesiano, lo imposto così:
$X = {blu, verde}$ colore effettivo del taxi
$P(X = blu) = 0,15$
$P(Y = verde) = 0,85$
$Y = {blu, verde}$ colore del taxi visto dal testimone
$P(Y = blu | X = blu) = 0,7$
Quindi:
$P(Y = blu) = P(X = blu)*P(Y = blu | X = blu) + P(X = verde)*P(Y = blu | X = verde) =
= 0,15 * 0,7 + 0,85 * 0,3 = 0,36$
$P(X = blu | Y = blu) = (P(X = blu) * P(Y = blu | X = blu))/(P(Y = blu)) = (0,15 * 0,7)/(0,36) = 0,29$
Fin qui tutto ok, ora l'esercizio continua:
Lo imposto quindi come problema inverso:
$P(Y = blu | X = blu) = (P(Y = blu) * P(X = blu | Y = blu))/(P(X = blu))$
di cui so che
$P(X = blu | Y = blu) = 0,99$
$P(X = blu) = 0,15$
non conosco invece il valore di $P(Y = blu)$,
ma so che $P(Y = blu) = P(X = blu)*P(Y = blu | X = blu) + P(X = verde)*P(Y = blu | X = verde)$
quindi sia $x = P(Y = blu | X = blu)$, $a = P(X = blu)$ e $b = P(X = blu | Y = blu)$
allora $x = ([ax + (1-x)*(1-a)]*b)/a$
da cui $P(Y = blu | X = blu) = 0,9982$ che mi sembra essere un risultato ragionevole nonché esatto, facendo anche la controprova.
Vorrei sapere da voi se il modo di ragionare è corretto e se c'è un metodo più veloce per svolgere questo tipo di problemi inversi che mi sfugge, magari più "statistico". Grazie in anticipo a chi avrà voglia di leggersi questo wall of text!
In una città lavorano due compagnie di taxi: blue e verde, la maggior parte dei taxisti lavorano per la compagnia verde per cui si ha la seguente distribuzione di taxi in città: 85% di taxi verdi e 15% di taxi blu. Succede un incidente in cui è coinvolto un taxi. Un testimone dichiara che il taxi era blu. Era sera e buio, c’era anche un po’ di nebbia ma il testimone ha una vista acuta, la sua affidabilità è stata valutata dell’70%. Qual è la probabilità che il taxi fosse effettivamente blu?
Classico esercizio Bayesiano, lo imposto così:
$X = {blu, verde}$ colore effettivo del taxi
$P(X = blu) = 0,15$
$P(Y = verde) = 0,85$
$Y = {blu, verde}$ colore del taxi visto dal testimone
$P(Y = blu | X = blu) = 0,7$
Quindi:
$P(Y = blu) = P(X = blu)*P(Y = blu | X = blu) + P(X = verde)*P(Y = blu | X = verde) =
= 0,15 * 0,7 + 0,85 * 0,3 = 0,36$
$P(X = blu | Y = blu) = (P(X = blu) * P(Y = blu | X = blu))/(P(Y = blu)) = (0,15 * 0,7)/(0,36) = 0,29$
Fin qui tutto ok, ora l'esercizio continua:
Quale deve essere l’affidabilità del testimone perché la probabilità che il taxi fosse effettivamente blu sia del 99%?
Lo imposto quindi come problema inverso:
$P(Y = blu | X = blu) = (P(Y = blu) * P(X = blu | Y = blu))/(P(X = blu))$
di cui so che
$P(X = blu | Y = blu) = 0,99$
$P(X = blu) = 0,15$
non conosco invece il valore di $P(Y = blu)$,
ma so che $P(Y = blu) = P(X = blu)*P(Y = blu | X = blu) + P(X = verde)*P(Y = blu | X = verde)$
quindi sia $x = P(Y = blu | X = blu)$, $a = P(X = blu)$ e $b = P(X = blu | Y = blu)$
allora $x = ([ax + (1-x)*(1-a)]*b)/a$
da cui $P(Y = blu | X = blu) = 0,9982$ che mi sembra essere un risultato ragionevole nonché esatto, facendo anche la controprova.
Vorrei sapere da voi se il modo di ragionare è corretto e se c'è un metodo più veloce per svolgere questo tipo di problemi inversi che mi sfugge, magari più "statistico". Grazie in anticipo a chi avrà voglia di leggersi questo wall of text!

Risposte
premesso che mi trovo esattamente con i tuoi risultati io, di solito, con questo tipo di esercizi, propendo per scrivere tutta la distribuzione bivariata....un piccolo sforzo in più all'inizio ma tanti vantaggi successivi nel fare i calcoli

da cui vedi subito che la formula per il primo quesito è
$(0.7 xx 0.15)/(0.7 xx 0.15+ 0.3 xx 0.85)=0.2917$
ed anche la seconda domanda è immediata, in quanto basta sostituire $p$ e $(1-p)$ nella formula precedente
$(p xx 0.15)/(p xx 0.15+ (1-p) xx 0.85)=0.99$
...risolvendo in $p$

da cui vedi subito che la formula per il primo quesito è
$(0.7 xx 0.15)/(0.7 xx 0.15+ 0.3 xx 0.85)=0.2917$
ed anche la seconda domanda è immediata, in quanto basta sostituire $p$ e $(1-p)$ nella formula precedente
$(p xx 0.15)/(p xx 0.15+ (1-p) xx 0.85)=0.99$
...risolvendo in $p$
Perfetto, noto che per risolvere il secondo punto hai utilizzato il mio stesso ragionamento, era questo che mi interessava maggiormente, ti ringrazio! 
Edit: effettivamente esplicitando la distribuzione risulta subito evidente

Edit: effettivamente esplicitando la distribuzione risulta subito evidente