Esercizio Bayes

[pit1306]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di voi per alcuni chiarimenti. Di seguito il testo dell'esercizio:

In una città lavorano due compagnie di taxi: blue e verde, la maggior parte dei taxisti lavorano per la compagnia verde per cui si ha la seguente distribuzione di taxi in città: 85% di taxi verdi e 15% di taxi blu. Succede un incidente in cui è coinvolto un taxi. Un testimone dichiara che il taxi era blu. Era sera e buio, c’era anche un po’ di nebbia ma il testimone ha una vista acuta, la sua affidabilità è stata valutata dell’70%. Qual è la probabilità che il taxi fosse effettivamente blu?

Classico esercizio Bayesiano, lo imposto così:

$X = {blu, verde}$ colore effettivo del taxi
$P(X = blu) = 0,15$
$P(Y = verde) = 0,85$

$Y = {blu, verde}$ colore del taxi visto dal testimone
$P(Y = blu | X = blu) = 0,7$

Quindi:
$P(Y = blu) = P(X = blu)*P(Y = blu | X = blu) + P(X = verde)*P(Y = blu | X = verde) =
= 0,15 * 0,7 + 0,85 * 0,3 = 0,36$

$P(X = blu | Y = blu) = (P(X = blu) * P(Y = blu | X = blu))/(P(Y = blu)) = (0,15 * 0,7)/(0,36) = 0,29$

Fin qui tutto ok, ora l'esercizio continua:

Quale deve essere l’affidabilità del testimone perché la probabilità che il taxi fosse effettivamente blu sia del 99%?

Lo imposto quindi come problema inverso:

$P(Y = blu | X = blu) = (P(Y = blu) * P(X = blu | Y = blu))/(P(X = blu))$

di cui so che

$P(X = blu | Y = blu) = 0,99$
$P(X = blu) = 0,15$

non conosco invece il valore di $P(Y = blu)$,

ma so che $P(Y = blu) = P(X = blu)*P(Y = blu | X = blu) + P(X = verde)*P(Y = blu | X = verde)$

quindi sia $x = P(Y = blu | X = blu)$, $a = P(X = blu)$ e $b = P(X = blu | Y = blu)$

allora $x = ([ax + (1-x)*(1-a)]*b)/a$

da cui $P(Y = blu | X = blu) = 0,9982$ che mi sembra essere un risultato ragionevole nonché esatto, facendo anche la controprova.

Vorrei sapere da voi se il modo di ragionare è corretto e se c'è un metodo più veloce per svolgere questo tipo di problemi inversi che mi sfugge, magari più "statistico". Grazie in anticipo a chi avrà voglia di leggersi questo wall of text!

[Lo_zio_Tom]

premesso che mi trovo esattamente con i tuoi risultati io, di solito, con questo tipo di esercizi, propendo per scrivere tutta la distribuzione bivariata....un piccolo sforzo in più all'inizio ma tanti vantaggi successivi nel fare i calcoli




da cui vedi subito che la formula per il primo quesito è

$(0.7 xx 0.15)/(0.7 xx 0.15+ 0.3 xx 0.85)=0.2917$

ed anche la seconda domanda è immediata, in quanto basta sostituire $p$ e $(1-p)$ nella formula precedente

$(p xx 0.15)/(p xx 0.15+ (1-p) xx 0.85)=0.99$

...risolvendo in $p$

[pit1306]

Perfetto, noto che per risolvere il secondo punto hai utilizzato il mio stesso ragionamento, era questo che mi interessava maggiormente, ti ringrazio!

Edit: effettivamente esplicitando la distribuzione risulta subito evidente