Esercizi sulle distribuzioni

[AlyAly2]

Ciao a tutti, studiando per l'esame di probabilità e satistica mi sono imbattuta in esercizi del tipo:
1) Sia $ X $ ~ $ U[0,1] $. Dimostrare che $ Y=1-X $ ~ $ U[0,1] $
2) Sia $ X $ ~ $ U[-5,5] $. Determinare la distribuzione di $ Y=|X-2| $
come devo procedere per risolvere esercizi di questo tipo? Non ho proprio idea...

[retrocomputer]

Se per $U$ intendi la distribuzione uniforme, io risolverei così:

1) penso che si possa risolvere in almeno due modi:

- si considera il diffeomorfismo $h(x)=1-x$ e si calcola la densità di $Y$ con la formula per i diffeomorfismi;
- si calcola direttamente la speranza di $Y$ e si vede subito che è della forma
$\int h(x)f_X(x)dx$
dove $f_X(x)$ è la densità di $X$;

2) troverei la funzione di ripartizione di $Y$ trasformando la probabilità di $\{|X-2|\leq t\}$ nella probabilità di $\{2-t\leq X\leq 2+t\}$ che posso calcolare usando la legge di $X$...

Se poi mi dici i risultati che ti vengono, sempre che i procedimenti da me proposti siano giusti , li possiamo confrontare.

[AlyAly2]

Ciao, grazie per la risposta
sisi,con $ U $ intendo la distribuzione uniforme.
ora provo a fare i calcoli e ti dico cosa mi viene, solo una cosa: qual è la formula per i diffeomorfismi?

[AlyAly2]

Allora ho iniziato a fare il punto 2 ma mi sono già bloccata
Ho calcolato $ P{2-t

Cita

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[retrocomputer]

Speriamo che si trovi in rete, speriamo che si trovi in rete... Ah! Meno male!

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function#Dependent_variables_and_change_of_variables

Non avevo proprio voglia di scriverla

Magari la conoscevi come teorema sul cambiamento di variabile, è che non mi veniva in mente il nome

[AlyAly2]

ok, allora con la formula il punto 1 è chiaro

[retrocomputer]

"AlyAly":Ho calcolato $ P{2-t

Stiamo cercando una funzione di ripartizione, cioè una funzione di $t$ che tenda a 1 per $t\to oo$, tenda a 0 per $t\to -oo$, eccetera... Devi dire anche dove vale $t/5$. Per esempio una funzione che vale
$0$ per $t\leq 0$
$t/5$ per $0 1 per $t\geq 5$
potrebbe essere una funzione di ripartizione.

A me viene diversa e $t/5$ mi risulta essere la funzione di ripartizione per $0\leq t\leq 3$, cioè dove tutto l'intervallo $[2-t,2+t]$ (con $t$ positivo) è contenuto nell'intervallo $[-5,5]$, ma forse sbaglio io... Cioè, per $3

Comunque quando hai la funzione di ripartizione hai anche la distribuzione e non chiedendoti l'esercizio di calcolare la (eventuale) densità, dovresti avere finito.

[AlyAly2]

nono, non sbagli!Grazie, finalmente ho capito