Esercizi su funzioni di densità e ripartizione
Salve a tutti,
vi chiedo aiuto per il seguente esercizio (e questa tipologia di esercizi), che non riesco proprio a risolvere.
Sia α ∈ R, α > 0 e
$ f(x):={(α x,if 1≤x≤3),(text{0 altrimenti},):} $
1) Si trovi α in modo tale che f sia la densità di una variabile aleatoria continua X.
2) Si calcoli la probabilità che X sia inferiore a 2.
3) Si trovi la funzione di ripartizione, F, di X.
4) Si trovino E(X) e Varianza (X).
5) Si trovino valore atteso e varianza di Y := 3X − 2.
Il mio problema è che non so come risolvere questa tipologia di esercizi di statistica, ovvero quando viene scritta una funzione in questo modo, e viene chiesto di calcolare delle cose. Credo sia per ora l'unico dubbio a cui non riesco a trovare davvero risposta. Non capisco le funzioni di densità e di ripartizione, e in che modo questo tipo di esercizi vadano risolti. Potreste darmi una mano per favore?
So che la funzione di densità (punto 1) è una formula di questo tipo $ f (x) = (dF(x))/ dx $ , e dovrebbe rappresentarmi l' aumento della probabilità cumulativa nel punto X, ossia la densità di probabilità attorno a X. L'integrale della funzione mi da la probabilità di X.
La funzione di ripartizione (punto 3) invece ha una formula $ F(x)=P(X\leq x) $ , e rappresenta la probabilità che la funzione assuma un valore minore o uguale ad un dato valore x, cioè si parla di un intervallo.
Sono malato e assonnato, spero di non aver scritto strafalcioni;
vi ringrazio anticipatamente per il sostegno e il tempo dedicatomi, qualora avrete piacere di aiutarmi
Grazie
vi chiedo aiuto per il seguente esercizio (e questa tipologia di esercizi), che non riesco proprio a risolvere.
Sia α ∈ R, α > 0 e
$ f(x):={(α x,if 1≤x≤3),(text{0 altrimenti},):} $
1) Si trovi α in modo tale che f sia la densità di una variabile aleatoria continua X.
2) Si calcoli la probabilità che X sia inferiore a 2.
3) Si trovi la funzione di ripartizione, F, di X.
4) Si trovino E(X) e Varianza (X).
5) Si trovino valore atteso e varianza di Y := 3X − 2.
Il mio problema è che non so come risolvere questa tipologia di esercizi di statistica, ovvero quando viene scritta una funzione in questo modo, e viene chiesto di calcolare delle cose. Credo sia per ora l'unico dubbio a cui non riesco a trovare davvero risposta. Non capisco le funzioni di densità e di ripartizione, e in che modo questo tipo di esercizi vadano risolti. Potreste darmi una mano per favore?
So che la funzione di densità (punto 1) è una formula di questo tipo $ f (x) = (dF(x))/ dx $ , e dovrebbe rappresentarmi l' aumento della probabilità cumulativa nel punto X, ossia la densità di probabilità attorno a X. L'integrale della funzione mi da la probabilità di X.
La funzione di ripartizione (punto 3) invece ha una formula $ F(x)=P(X\leq x) $ , e rappresenta la probabilità che la funzione assuma un valore minore o uguale ad un dato valore x, cioè si parla di un intervallo.
Sono malato e assonnato, spero di non aver scritto strafalcioni;
vi ringrazio anticipatamente per il sostegno e il tempo dedicatomi, qualora avrete piacere di aiutarmi
Grazie
Risposte
Beh se l'esercizio ti chiede certe "cose" come le chiami tu significa che quelle cose avresti dovuto averle studiate. Comunque in questo forum difficilmente riceverai aiuti senza postare le tue bozze risolutive che evidenzino un fattivo sforzo per risolvere il problema, peraltro davvero semplice una volta studiati gli argomenti teorici sottostanti.... ([regolamento]1_2[/regolamento], punto 1.2)
Augurandoti una pronta guarigione, ti saluto cordialmente
Augurandoti una pronta guarigione, ti saluto cordialmente
Buongiorno,
ha ragione, me la cavicchio con la statistica (insomma...circa...), ma questo tipo di esercizi di probabilità restano la mia croce, non so come prenderli. So che sono semplici, teorici più che altro, ma per me sono uno scoglio. Grazie comunque per la dritta, posto alcuni scritti ma davvero non riesco a venirne a capo.
1) $ \int_1^3 α f(x)dx = 1 $
se non erro, perché alfa è compreso fra 1 e 3
2) Devo calcolare $ P (X<2) $ . Prima devo capire che tipo di variabile è, suppongo per esclusione, che sia una Poisson, quindi so che E(x)=Var(x), dunque pongo X=1 e X=2. Quindi $ P {x=x i}= e^-lambda * sumlambda^(x i) / (x i) $
dove lambda è il numero di eventi, quindi 2. Ho applicato la formula (x=1, poi ricorsiva per x=2) e la probabilità totale mi viene 0,45.
3) /
4) Se non sbaglio, dagli appunti, E(x)=Var(x)=lambda. Quindi 3.
5) /
Grazie comunque per tutto, non voglio disturbare e mi attengo al regolamento, sto cercando di fare del mio meglio ma per i punti non risolti non so davvero come procedere.
Buona giornata e grazie ancora
ha ragione, me la cavicchio con la statistica (insomma...circa...), ma questo tipo di esercizi di probabilità restano la mia croce, non so come prenderli. So che sono semplici, teorici più che altro, ma per me sono uno scoglio. Grazie comunque per la dritta, posto alcuni scritti ma davvero non riesco a venirne a capo.
1) $ \int_1^3 α f(x)dx = 1 $
se non erro, perché alfa è compreso fra 1 e 3
2) Devo calcolare $ P (X<2) $ . Prima devo capire che tipo di variabile è, suppongo per esclusione, che sia una Poisson, quindi so che E(x)=Var(x), dunque pongo X=1 e X=2. Quindi $ P {x=x i}= e^-lambda * sumlambda^(x i) / (x i) $
dove lambda è il numero di eventi, quindi 2. Ho applicato la formula (x=1, poi ricorsiva per x=2) e la probabilità totale mi viene 0,45.
3) /
4) Se non sbaglio, dagli appunti, E(x)=Var(x)=lambda. Quindi 3.
5) /
Grazie comunque per tutto, non voglio disturbare e mi attengo al regolamento, sto cercando di fare del mio meglio ma per i punti non risolti non so davvero come procedere.
Buona giornata e grazie ancora
vediamo di chiarire un po'....
1) come hai scritto devi porre come condizione $int_(1)^(3)alphaxdx=1 rarr alpha=1/4$ e ciò perché $X in [1;3]$ e non $alpha$
2) Calcolare $P(X<2)$
Hai già la densità, quella funzione di cui abbiamo appena calcolato la costante di normalizzazione, e quindi $P(X<2)=int_(1)^(2)x/4 dx=3/8$
Ovviamente, dato che la densità è una retta, tutti questi calcoli con gli integrali sono inutili; basterebbe disegnare il grafico della densità e calcolare le aree richieste
3) la funzione di ripartizione.... definizione: $F_X(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$
nel tuo caso ottieni
$int_(1)^(x)t/4 dt=...=x^2/8-1/8$
Poi ovviamente $F=0$ se $x<=1$ e $F=1$ se $x>=3$
Quindi, in modo formale e compatto otteniamo
$F_(X)(x)=[x^2/8-1/8]I_([1;3])(x)+I_((3;+oo))(x)$
4) calcolare media e varianza di X
Anche qui con le definizioni (non farmi fare tutti i calcoletti che sono banali...)
$E[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(1)^(3)x^2/4dx=...$
$V[X]=E[X^2]-E^2[X]=int_(1)^(3)x^3/4dx-E^2[X]=....$
5) calcolare media e varianza di una trasformazione lineare di X, $Y=3X-2$
$E[Y]=3E[X]-2$
$V[Y]=3^2V[X]$
cordiali saluti
1) come hai scritto devi porre come condizione $int_(1)^(3)alphaxdx=1 rarr alpha=1/4$ e ciò perché $X in [1;3]$ e non $alpha$
2) Calcolare $P(X<2)$
Hai già la densità, quella funzione di cui abbiamo appena calcolato la costante di normalizzazione, e quindi $P(X<2)=int_(1)^(2)x/4 dx=3/8$
Ovviamente, dato che la densità è una retta, tutti questi calcoli con gli integrali sono inutili; basterebbe disegnare il grafico della densità e calcolare le aree richieste
3) la funzione di ripartizione.... definizione: $F_X(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$
nel tuo caso ottieni
$int_(1)^(x)t/4 dt=...=x^2/8-1/8$
Poi ovviamente $F=0$ se $x<=1$ e $F=1$ se $x>=3$
Quindi, in modo formale e compatto otteniamo
$F_(X)(x)=[x^2/8-1/8]I_([1;3])(x)+I_((3;+oo))(x)$
4) calcolare media e varianza di X
Anche qui con le definizioni (non farmi fare tutti i calcoletti che sono banali...)
$E[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(1)^(3)x^2/4dx=...$
$V[X]=E[X^2]-E^2[X]=int_(1)^(3)x^3/4dx-E^2[X]=....$
5) calcolare media e varianza di una trasformazione lineare di X, $Y=3X-2$
$E[Y]=3E[X]-2$
$V[Y]=3^2V[X]$
cordiali saluti
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