Esercizi probabilità
Salve ragazzi, avrei bisogno di un parere su questi due esercizi.
1) Un'urna contiene 15 palline bianche, 10 rosse e 5 nere. Effettuando 3 estrazioni senza rimessa calcolare la probabilità che UNA sola bianca preceda (anche non immediatamente) la PRIMA nera.
2) Un componente meccanico possiede una resistenza Z che si contrappone alla sollecitazione esterna S. Disponendo solo dei valori medi $m_z$ e $m_s$ e delle varianze $V_z$ e $V_s$, come è possibile valutare una stima della sua affidabilità $R=Pr{Z>S}$ ?
Ora vi spiego come li ho volti.
1) Ho pensato che i casi in cui è possibile, estraendo tre palline, avere una sola pallina bianca prima della prima nera sono: BRN, RBN, BNR, BNN. Di conseguenza ho calcolato la probabilità che accadano questi quattro eventi, ovvero:
$Pr{(BRN)U(RBN)U(BNR)U(BN N)}$= $(15/30*10/29*5/28)+(10/30*15/29*5/28)+(15/30*5/29*10/28)+(15/30*5/29*4/28)$
2) Ho considerato $Pr{Z>S}=Pr{Z-S>0}$ e chiamato $Y=Z-S$ ; ipotizzando la gaussianità per le variabili Z e S, anche la Y sarà gaussiana di media $m_y=m_z-m_s$ e varianza $\sigma_y^2=\sigma_z^2-\sigma_s^2$. Ho calcolato quindi (standardizzando):
$Pr{Y>0} = Pr{(Y-m_y)/\sigma_y > -m_y/\sigma_y} = Pr{U > -m_y/\sigma_y}$ con U gaussiana standard.
Secondo voi sono giusti i miei ragionamenti? Grazie a chi risponderà.
1) Un'urna contiene 15 palline bianche, 10 rosse e 5 nere. Effettuando 3 estrazioni senza rimessa calcolare la probabilità che UNA sola bianca preceda (anche non immediatamente) la PRIMA nera.
2) Un componente meccanico possiede una resistenza Z che si contrappone alla sollecitazione esterna S. Disponendo solo dei valori medi $m_z$ e $m_s$ e delle varianze $V_z$ e $V_s$, come è possibile valutare una stima della sua affidabilità $R=Pr{Z>S}$ ?
Ora vi spiego come li ho volti.
1) Ho pensato che i casi in cui è possibile, estraendo tre palline, avere una sola pallina bianca prima della prima nera sono: BRN, RBN, BNR, BNN. Di conseguenza ho calcolato la probabilità che accadano questi quattro eventi, ovvero:
$Pr{(BRN)U(RBN)U(BNR)U(BN N)}$= $(15/30*10/29*5/28)+(10/30*15/29*5/28)+(15/30*5/29*10/28)+(15/30*5/29*4/28)$
2) Ho considerato $Pr{Z>S}=Pr{Z-S>0}$ e chiamato $Y=Z-S$ ; ipotizzando la gaussianità per le variabili Z e S, anche la Y sarà gaussiana di media $m_y=m_z-m_s$ e varianza $\sigma_y^2=\sigma_z^2-\sigma_s^2$. Ho calcolato quindi (standardizzando):
$Pr{Y>0} = Pr{(Y-m_y)/\sigma_y > -m_y/\sigma_y} = Pr{U > -m_y/\sigma_y}$ con U gaussiana standard.
Secondo voi sono giusti i miei ragionamenti? Grazie a chi risponderà.
Risposte
A mio avviso, per l'esercizio (1) hai dimenticato il caso $ (BNB) $
Ciao
Ciao
mentre nel secondo esercizio hai dimenticato di imporre l'indipendenza fra le variabili e comunque hai sbagliato a calcolare la varianza di $Y$
"g.fed":
ipotizzando la gaussianità per le variabili Z e S, anche la Y sarà gaussiana di media $m_y=m_z-m_s$ e varianza $\sigma_y^2=\sigma_z^2-\sigma_s^2$.
"tommik":
mentre nel secondo esercizio hai dimenticato di imporre l'indipendenza fra le variabili e comunque hai sbagliato a calcolare la varianza di $Y$
Ciao potresti dirmi in cosa ho sbagliato con la varianza? Dovrebbe essere $\sigma_y^2 = Var{Z-S} = Var{Z} + Var{S} - 2Cov{Z,S}$ ma, poiché le variabili sono indipendenti, la covarianza è nulla. Giusto? Quindi in sintesi non è uguale alla differenza delle varianze ma alla somma $\sigma_y^2 = \sigma_z^2 + \sigma_s^2$
"orsoulx":
A mio avviso, per l'esercizio (1) hai dimenticato il caso $ (BNB) $
Ciao
Sì, hai ragione mi è sfuggito quel caso. Il procedimento è corretto quindi? Grazie mille per aver risposto.
"g.fed":
Il procedimento è corretto quindi?
Direi di sì, al più si potevano evitare alcuni calcoli, es. i tre casi con una pallina per ciascun colore hanno sicuramente la medesima probabilità.
Prego, Ciao
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