Esercizi di probabilità
Ciao, ho dei dubbi su due esercizi di probabilità di cui non conosco la soluzione.
1)Si consideri la distribuzione uniforme su un'ellisse $(x^2/a^2)+(y^2/b^2)≤1$. Si calcolino le densità marginali, si dica se x e y sono indipendenti, si calcoli la covarianza, si trovi la probabilità che x≥y.
Per prima cosa ho imposto la densità come 1/Area quindi $1/(πab)$. Per trovare la densità marginale di X ho espresso y(x)=±$sqrt(b^2(1-x^2/a^2))$ e quindi svolto l'integrale
$\int_{-sqrt(b^2(1-x^2/a^2))}^{sqrt(b^2(1-x^2/a^2))} 1/(πab) dy$
Quindi la densità marginale di y sarà pari a $sqrt(b^2(1-x^2/a^2))*(2/(πab))$.
In modo analogo ho trovato la densità marginale di x.
Per gli altri tre punti ho dei dubbi. Per verificare che siano indipendenti posso vedere se i coefficienti delle probabilità marginali sono uno l'inverso dell'altro e dire che se ciò è verificato le variabili sono indipendenti?
Per calcolare la covarianza se sono indipendenti so che essa è nulla, nel caso non lo fossero E[XY] lo calcolo svolgendo l'integrale di prima con argomento xy?
Per l'ultima domanda pensavo di dividere a metà l'area dell'ellisse poichè è come se dovessi integrare tra la bisettrice e l'ellisse.
2)Siano x e y variabili aleatorie indipendenti esponenziali con vita media 1/2 e 1/4. Si calcoli la densità di z=x-y.
Ho provato a svolgerlo ma credo sia sbagliato il procedimento. Per prima cosa ho espresso y=x-z e quindi ho svolto l'integrale sostituendo alla densità di y la "nuova" densità in x-z ottenendo:
$\int_{0}^{+ \infty} 3e^(-3x)e^(z-x) dx$
Se avete qualche link in cui posso vedere la teoria riguardo questo problema mi fareste un favore perchè non ho capito bene come ragionare.
1)Si consideri la distribuzione uniforme su un'ellisse $(x^2/a^2)+(y^2/b^2)≤1$. Si calcolino le densità marginali, si dica se x e y sono indipendenti, si calcoli la covarianza, si trovi la probabilità che x≥y.
Per prima cosa ho imposto la densità come 1/Area quindi $1/(πab)$. Per trovare la densità marginale di X ho espresso y(x)=±$sqrt(b^2(1-x^2/a^2))$ e quindi svolto l'integrale
$\int_{-sqrt(b^2(1-x^2/a^2))}^{sqrt(b^2(1-x^2/a^2))} 1/(πab) dy$
Quindi la densità marginale di y sarà pari a $sqrt(b^2(1-x^2/a^2))*(2/(πab))$.
In modo analogo ho trovato la densità marginale di x.
Per gli altri tre punti ho dei dubbi. Per verificare che siano indipendenti posso vedere se i coefficienti delle probabilità marginali sono uno l'inverso dell'altro e dire che se ciò è verificato le variabili sono indipendenti?
Per calcolare la covarianza se sono indipendenti so che essa è nulla, nel caso non lo fossero E[XY] lo calcolo svolgendo l'integrale di prima con argomento xy?
Per l'ultima domanda pensavo di dividere a metà l'area dell'ellisse poichè è come se dovessi integrare tra la bisettrice e l'ellisse.
2)Siano x e y variabili aleatorie indipendenti esponenziali con vita media 1/2 e 1/4. Si calcoli la densità di z=x-y.
Ho provato a svolgerlo ma credo sia sbagliato il procedimento. Per prima cosa ho espresso y=x-z e quindi ho svolto l'integrale sostituendo alla densità di y la "nuova" densità in x-z ottenendo:
$\int_{0}^{+ \infty} 3e^(-3x)e^(z-x) dx$
Se avete qualche link in cui posso vedere la teoria riguardo questo problema mi fareste un favore perchè non ho capito bene come ragionare.
Risposte
"alecxio":
Per gli altri tre punti ho dei dubbi. Per verificare che siano indipendenti posso vedere se i coefficienti delle probabilità marginali sono uno l'inverso dell'altro e dire che se ciò è verificato le variabili sono indipendenti?
Per essere certo che sono indipendenti devi poter scrivere $f_{(X,Y)}=f_X\cdot f_Y$, e la vedo dura... Più facilmente puoi osservare che il supporto della densità congiunta è un'ellisse e quindi non un prodotto cartesiano di insiemi, quindi le variabili $X$ e $Y$ con densità marginali non possono essere indipendenti.
Scusa per la domanda stupida, per supporto della densità congiunta intendi il dominio di integrazione? :p
Gli altri ragionamenti sul primo esercizio ti sembrano corretti?
Per il secondo problema cercando su internet ho trovato la dimostrazione generale della somma di variabili aleatorie e ho risolto i miei dubbi!
Posto il link in cui spiega come sommare variabili aleatorie sia discrete che continue:
http://www.dartmouth.edu/~chance/teachi ... apter7.pdf
Gli altri ragionamenti sul primo esercizio ti sembrano corretti?
Per il secondo problema cercando su internet ho trovato la dimostrazione generale della somma di variabili aleatorie e ho risolto i miei dubbi!
Posto il link in cui spiega come sommare variabili aleatorie sia discrete che continue:
http://www.dartmouth.edu/~chance/teachi ... apter7.pdf
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