Esercizi calcolo combinatorio
Ciao a tutti!
Volevo chiedere un aiuto su due esercizi di calcolo combinatorio che sto svolgendo in preparazione all'esame si statistica.
I due esercizi in questione sono i seguenti:
1) Quattro ragazze e quattro ragazzi partecipano a una caccia al tesoro a coppie. In quanti modi si puó formare la quaterna di coppie se:
a) ogni coppia é formata da 1 ragazzo e da 1 ragazza?
In questo caso mi sono calcolata tutti i modi per formare
le possibili coppie, dato da 16*9*4*1 modi diversi. Quello
che non riesco a capire é il perché poi questo risultato lo
devo dividere per le permutazioni delle 4 coppie formate,
cioè per 4!.
b) ogni coppia é formata da persone dello stesso sesso?
Anche in questo caso mi calcolo i modi per poter formare
le coppie usando le combinazioni senza rimessa, cioè
combinazione di 2 elementi su 4 (coppie di maschi)
moltiplicato per la combinazione di 2 elementi su 4
(coppie di femmine). Anche in questo caso però non
capisco perché poi il risultato lo devo dividere per le
permutazioni delle 4 coppie.
2) Si hanno 4 urne numerate e 7 palline numerate. Si distribuiscono casualmente le palline nelle urne.
a) Qual é la probabilità di mettere tutte le palline nella terza
urna?
Dal momento che mi interessa l'ordine perché le urne
sono numerate e che ci può essere rimessa perché più
palline possono essere inserite nella stessa urna, calcolo
la probabilità richiesta utilizzando le disposizioni con
rimessa, quindi P = 1^7 / 4^7.
Il secondo quesito mi chiede però di calcolare la
probabilità di mettere 3 palline nella prima urna, 2 nella
seconda e 2 nella quarta. In questo caso per calcolare il
numero di casi favorevoli vengono invece utilizzate le
combinazioni senza rimessa. Non riesco davvero a capire
il perché vengano utilizzate le combinazioni e non le
disposizioni come nel punto precedente
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà!!
Volevo chiedere un aiuto su due esercizi di calcolo combinatorio che sto svolgendo in preparazione all'esame si statistica.
I due esercizi in questione sono i seguenti:
1) Quattro ragazze e quattro ragazzi partecipano a una caccia al tesoro a coppie. In quanti modi si puó formare la quaterna di coppie se:
a) ogni coppia é formata da 1 ragazzo e da 1 ragazza?
In questo caso mi sono calcolata tutti i modi per formare
le possibili coppie, dato da 16*9*4*1 modi diversi. Quello
che non riesco a capire é il perché poi questo risultato lo
devo dividere per le permutazioni delle 4 coppie formate,
cioè per 4!.
b) ogni coppia é formata da persone dello stesso sesso?
Anche in questo caso mi calcolo i modi per poter formare
le coppie usando le combinazioni senza rimessa, cioè
combinazione di 2 elementi su 4 (coppie di maschi)
moltiplicato per la combinazione di 2 elementi su 4
(coppie di femmine). Anche in questo caso però non
capisco perché poi il risultato lo devo dividere per le
permutazioni delle 4 coppie.
2) Si hanno 4 urne numerate e 7 palline numerate. Si distribuiscono casualmente le palline nelle urne.
a) Qual é la probabilità di mettere tutte le palline nella terza
urna?
Dal momento che mi interessa l'ordine perché le urne
sono numerate e che ci può essere rimessa perché più
palline possono essere inserite nella stessa urna, calcolo
la probabilità richiesta utilizzando le disposizioni con
rimessa, quindi P = 1^7 / 4^7.
Il secondo quesito mi chiede però di calcolare la
probabilità di mettere 3 palline nella prima urna, 2 nella
seconda e 2 nella quarta. In questo caso per calcolare il
numero di casi favorevoli vengono invece utilizzate le
combinazioni senza rimessa. Non riesco davvero a capire
il perché vengano utilizzate le combinazioni e non le
disposizioni come nel punto precedente
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà!!
Risposte
Nel primo esercizio devi dividere per 24, perchè la stessa soluzione si può ripetere $4!$ volte.
Voglio dire:
Mario-Maria; Giovanni-Giovanna; Luciano-Luciana; Alessandro-Alessandra
sono al stessa cosa di:
Giovanni-Giovanna;Alessandro-Alessandra;Luciano-Luciana;Mario-Maria.
E anche la stessa cosa di:
Alessandro-Alessandra;Mario-Maria;Luciano-Luciana;Giovanni-Giovanna.
Etc,etc.etc.....
La stessa cosa vale per le coppi di nomi dello stesso sesso.
Per il secondo quesito:
a) semplicemente $(1/4)^7$
b) $(C_(7,3)*C_(4,2)*C_(2,2))/(4^7)=(35*6*1)/(4^7)=210/16.384=0,01282$
Voglio dire:
Mario-Maria; Giovanni-Giovanna; Luciano-Luciana; Alessandro-Alessandra
sono al stessa cosa di:
Giovanni-Giovanna;Alessandro-Alessandra;Luciano-Luciana;Mario-Maria.
E anche la stessa cosa di:
Alessandro-Alessandra;Mario-Maria;Luciano-Luciana;Giovanni-Giovanna.
Etc,etc.etc.....
La stessa cosa vale per le coppi di nomi dello stesso sesso.
Per il secondo quesito:
a) semplicemente $(1/4)^7$
b) $(C_(7,3)*C_(4,2)*C_(2,2))/(4^7)=(35*6*1)/(4^7)=210/16.384=0,01282$
Ti rifrazione davvero tantissimo, sei stato molto gentile!
Tutto chiarito, tranne il punto b) del secondo esercizio.
Come mai per calcolare la probabilità di 3 palline nella prima urna, 2 nella terza e 2 nella quarta uso le combinazioni e non le disposizioni con rimessa come nel punto a). Nel senso, il punto a) chiede la probabilità di mettere tutte le palline nella terza urna, e in questo caso uso le disposizioni con rimessa (non riesco a trovare la differenza rispetto a quanto chiesto dal punto b), dove comunque potrei calcolare il numero di casi favorevoli come 1^3*1^2*1^2), perché nel punto b invece no?
Grazie ancora!
Tutto chiarito, tranne il punto b) del secondo esercizio.
Come mai per calcolare la probabilità di 3 palline nella prima urna, 2 nella terza e 2 nella quarta uso le combinazioni e non le disposizioni con rimessa come nel punto a). Nel senso, il punto a) chiede la probabilità di mettere tutte le palline nella terza urna, e in questo caso uso le disposizioni con rimessa (non riesco a trovare la differenza rispetto a quanto chiesto dal punto b), dove comunque potrei calcolare il numero di casi favorevoli come 1^3*1^2*1^2), perché nel punto b invece no?
Grazie ancora!
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